Suite récurrente et matrice

[ironsocks]

Bonjour à vous,

Un petit problème se pose à moi.

Je dois étudier monotonie et convergence de la suite (Un)n suivante :

U(0)=2

U(n+1)=( U(n) + 2 ) / ( 2U(n) + 1)

J'ai remarqué assez simplement que la suite était minorée par 1 ; comment conclure à la décroissance de la suite ? Doit-on utiliser le rapport U(n+1)/U(n) ? Ou alors y-a-t-il astuce avec le classique U(n+1)-U(n) ?

Enfin, et surtout peut-être, ce petit exercice est dans une partie intitulée "Suite et matrice" ; à défaut de solution, quelqu'un voit-il comment modéliser le problème à l'aide d'une matrice ?

Merci d'avance !

[jonses]

Bonjour à vous,

Un petit problème se pose à moi.

Je dois étudier monotonie et convergence de la suite (Un)n suivante :

U(0)=2

U(n+1)=( U(n) + 2 ) / ( 2U(n) + 1)

J'ai remarqué assez simplement que la suite était minorée par 1 ; comment conclure à la décroissance de la suite ? Doit-on utiliser le rapport U(n+1)/U(n) ? Ou alors y-a-t-il astuce avec le classique U(n+1)-U(n) ?

Salut,

Vu que tu as montré qu'elle est minorée par 1, je vais utiliser ce résultat :

Soit

car


Au fait, si ça te dérange pas est-ce que tu peux me montrer comment tu as établi que la suite est minorée par 1 ?

[ironsocks]

Salut,

Vu que tu as montré qu'elle est minorée par 1, je vais utiliser ce résultat :

Soit

car


Au fait, si ça te dérange pas est-ce que tu peux me montrer comment tu as établi que la suite est minorée par 1 ?

Salut Jonses,

Merci de ta réponse. En fait j'ai effectué une rapide récurrence avec une H(n) : U(n)>1

Effectivement comme ça ça fonctionne assez simplement il suffit de passer à la limite dans les deux membres de l'égalité pour conclure, vu que toute suite décroissante et minorée CV.

Tu as une idée pour l'aspect matriciel du problème ? J'ai un peu de mal à voir l'intérêt d'une matrice de M(1,1)(R) pour répondre au PB... Pour moi il aurait fallu un système pour que ça ait un sens, histoire de diagonaliser qqch.. Mais là, je sèche.

[jonses]

Salut Jonses,

Merci de ta réponse. En fait j'ai effectué une rapide récurrence avec une H(n) : U(n)>1

C'est quoi H(n) ?

Effectivement comme ça ça fonctionne assez simplement il suffit de passer à la limite dans les deux membres de l'égalité pour conclure, vu que toute suite décroissante et minorée CV.

Désolé, mais j'ai pas bien compris, tu as fait un passage à la limite dans ta récurrence ?

Tu as une idée pour l'aspect matriciel du problème ? J'ai un peu de mal à voir l'intérêt d'une matrice de M(1,1)(R) pour répondre au PB... Pour moi il aurait fallu un système pour que ça ait un sens, histoire de diagonaliser qqch.. Mais là, je sèche.

Pas du tout, moi aussi je sèche, et surtout je comprends pas à quoi ça peut bien servir...

[ironsocks]

Alors

#1 : H(n) est mon hypothèse de récurrence à l'ordre n, pour n fixé mais quelconque dans N.

#2 : Non, ayant démontré la convergence de la suite (Un)n, on peut affirmer qu'il existe un réel L qui vérifie L=(L+2)/(2L+1) par passage à la limite dans la formule fournie par l'énoncé (toujours en rappelant l'existence des limites qui justifie le passage à la limite)

#3 : Dommage... Franchement je vois vraiment pas comment une matrice pourrait nous aider ici dans la mesure où la relation de récurrence n'est pas linéaire (présence du quotient...)

[Ben314]

Salut,
Il y a en fait un lien trés profond entre ton problème et le groupe GL2(K) des matrices inversible 2x2 qui vient en fait de la notion d'espace projectif mais qui peut être compris et utilisé sans connaitre les espaces projectif (mais le résultat "de base" parrait un peu "magique" dans ce cas).

Le lien, il est là : si tu considère une matrice inversible 2x2 à coef. dans et que tu lui associe l'homographie de dans lui même définie par alors, lorsque tu as 2 matrices M et N inversibles, tu as (résultat "magique" si on le démontre "à la main"...)
Lorsque tu as une suite récurente définie par une formule du type , tu diagonalise la matrice M : avec diagonale et la formule de récurence devient ce qui signifie que, si tu pose , il te reste ce qui signifie que la suite est géométrique.

Si on se fout de la théorie et que l'on ne regarde que la partie "pratique", elle signifie qu'il existe des coeff a,b,c,d tels que, partant de ta suite la suite soit géométrique (ou à la limite arithmétique si ta matrice M n'est pas diagonalisable).

Je te laisse faire les calculs...

[mrif]

J'ai remarqué assez simplement que la suite était minorée par 1

[Ben314]

Je te fait un bout de calcul...
Dans ton exo, a pour polynôme caractéristique
- Un vecteur propre associé la valeur propre est
- Un vecteur propre associé la valeur propre est
Donc avec et et cela signifie que la suite telle que est géométrique de raison .
En particulier, tend vers l'infini donc tend vers 1