Vrai Faux

[mari2]

Bonjours je voudrai avoir un peu aide pour ce petit exercice:
On considèreles points :
A(2 ; 1 ; ;)1), B(;)1 ; 2 ; 4), C(0 ; ;)2 ; 3), D(1 ; 1 ; ;)2)
et le plan P d'équation x-2y+z+1=0
1. Affirmation 1: la distance du point C au plan P est égale à 4racine de 6
2. Affirmation 2: la sphère de centre C et de rayon racine6/3 est tangente au plan P.
3. Affirmation 3: Le point E(-4/3;2/3;5/3) est le projeté orthogonal du point C sur le plan P.

Dire en JUSTIFIANT si ces affirmations sont vraies ou fausses.

Pour la première je ne comprend pas comment je peux justifiant que c'est vrai.

[Florélianne]

On considère les points :
A(2 ; 1 ; 1), B(;)1 ; 2 ; 4), C(0 ; 2 ; 3), D(1 ; 1 ; 2)
et le plan P d'équation x-2y+z+1=0
1. Affirmation 1: la distance du point C au plan P est égale à 4V6
le vecteur u = i -2j+k est orthogonal au plan (produit scalaire), on l'appelle aussi vecteur normal au plan...
donc le distance de C à P est la norme de CM = ku où M est un point du plan...
M(x ; y ; z) CM = x i +(y+2) j+(z-3)k avec x-2y+z+1=0
donc il faut trouver k ... ||u|| = V6 donc vérifie que k=4

2. Affirmation 2: la sphère de centre C et de rayon V6/3 est tangente au plan P.
il faut trouver M(x ; y; z) de P tel que CM² = 6/9 = 2/3
et CM colinéaire à u

3. Affirmation 3: Le point E(-4/3;2/3;5/3) est le projeté orthogonal du point C sur le plan P.
E est il dans P ?
CE est-il colinéaire à u ?

Très cordialement