La trigonométrie Simplifier

[so213]

Bonjour à tous, je n'arrive pas du tout à simplifier cette expression (et toute expression qui lui ressemble) car je ne comprend pas comment on peut simplifier des expressions dans ce genre :
A= cos(4 π - x) + sin (7 π/2 +x) + cos(11 π/2 - x)

Voilà merci de m'aider

[mathelot]

on a les formules bien connues:

[Lostounet]

Coucou,

Les fonctions x-> sin(x) et x-> cos(x) sont 2-pi périodiques. Qu'est-ce que ça veut dire?

Cela veut dire que, pour tout nombre x que tu choisis, on a cos(x + 2pi) = cos(x) mais aussi cos(x - 2pi) = cos(x)
Même chose pour sinus ! On peut ajouter 2pi autant de fois qu'on veut et on trouve pareil. Exemple:
cos(2pi + 2pi + 2pi + 2pi + 2pi + x) = cos(x)

Donc déjà, cos(4 π - x) ce n'est autre que cos(2π + 2π - x ) qui n'est autre que cos(-x) par la propriété de 2pi périodicité.

--------------------------
On va maintenant utiliser une deuxième propriété, toute simple aussi...
Si tu prends un triangle ABC rectangle en A, je te rappelle quelques notions du brevet:
cos(B) =BA/BC
sin(C) = BA/BC

Quoi !? Cela veut donc dire que cos(B) = sin(C).. mais oui.
Mais dans un triangle rectangle, la somme des angles aigus fait 90 degrés, donc l'angle B + l'angle C cela fait 90 degrés, soit pi/2 radians !

Donc B + C = pi/2
donc C = pi/2 - B

Et la relation cos(B) = sin(C) devient cos(B) = sin(pi/2 - B)

Moralité de l'histoire: pour passer de cos(y) à quelque chose avec sinus, on a la formule:
cos(y) = sin(π/2 - y)

Tu es d'accord?
Et vice versa, on a: sin(u) = cos(π/2 - u)

Donc, pour en revenir à l'exercice:

sin (7 π/2 +x) vaut donc cos(π/2 - (7 π/2 +x)) = cos(-6π/2 - x) = cos(-3π - x) = cos(-2π - π - x) = cos(-π-x)
Tu vois j'ai utilisé la propriété de 2 pi périodicité sans te le dire. Mais tu m'as suivi !


D'autre part, cos(11 π/2 - x) = cos( 8π/2 + 3 π/2 - x) = cos(4 π + 3 π/2 - x) = cos(3 π/2 - x)


Maintenant... peux-tu essayer d'exprimer:
* cos(3 π/2 - x) par un sinus?
* Que sais-tu de cos(y) par rapport à cos(-y) ? Et donc que peux-tu dire concernant cos(-π-x) ?

[so213]

Merci beaucoup Lostounet pour tes explications , je vais les revoir attentivement et essayer de le faire