Théorème vrai ou non ?

[egan]

Salut,
Je voulais savoir si ce théorème était vrai et si oui comment on pouvait le démontrer.

Soit f,g,u,v quatres fonctions définies sur un intervalle I et non constantes, f et g étant des fonctions fixées.
Les solutions de l'équation: u(x)f(x)+v(x)g(x)=0 sont u(x)=kg(x) et v(x)=-kf(x) où k est un réel réel non nul.

Voilà.
@+ Boris.

[girdav]

Bonjour.
Je ne crois pas que l'on aie toutes les solutions.
constitue aussi une solution.

[Skullkid]

Salut, il faut bien comprendre que résoudre une équation fonctionnelle (d'autant plus à deux variables) revient à résoudre une infinité (souvent indénombrable) d'équations. Sans aucune condition de régularité sur tes fonctions, ne t'attends pas à trouver un théorème qui te les résoudrait.

[xyz1975]

Je pense que la question posée n'est pas claire!
C'est quoi l'inconnue dans ton équation?
Ensuite tu résous dans quel ensemble?

Je pense que ces éléments sont nécessaires pour pouvoir résoudre une équation?
(Déterminer l'inconnue et donner le cadre fonctionnelle ou ensembliste).

[egan]

Les inconnues sont u et v et on résout dans I.

[xyz1975]

Comment se fait t-il que tu cherches des fonctions dans un intervalle?
Si u et v étaient les inconnues alors dans ce cas l'ensemble de résolution est un ensemble de fonctions pas de réels?

[egan]

Excuse moi, je me suis mal exprimé, je cherchais des fonctions définies sur I.

[xyz1975]

Oui je suis d'accord mais des fonctions comment? le cadre fonctionnelle de la résolution est l'ensemble des fonction.....? Il faut qu'on se situe pour pouvoir résoudre.

Comme pour une équation différentielle on cherche toutes les fonctions dérivables une fois ou deux fois ou plus ou alors des fonctions de classe p vérifiant une certaine équation différentielle.

J'insiste sur le fait que l'équation que tu propose n'est pas une équation fonctionnelle habituelle type "f(x+y)=f²(x)f(y/2)²" par exemple pour ne pas être obligé de préciser le cadre de la résolution.

[egan]

Ba j'avais pas telment de cadre de résolution. Je voulais juste connaître les solutions de cette équation mais ça n'a pas l'air envisageable.

[busard_des_roseaux]

Ba j'avais pas telment de cadre de résolution. Je voulais juste connaître les solutions de cette équation mais ça n'a pas l'air envisageable.

bah si, c'est un déterminant 2x2 nul mais le coefficient de proportionnalité
k entre les deux vecteurs dépend de x: noté k(x).

[xyz1975]

bah si, c'est un déterminant 2x2 nul mais le coefficient de proportionnalité
k entre les deux vecteurs dépend de x: noté k(x).

Déterminant de quoi et de quel système et quelle est la méthode de résolution adoptée?

[Skullkid]

Ce que dit busard c'est que . Donc le déterminant nul équivaut à proportionnalité entre les deux vecteurs colonnes, le coefficient dépendant de x. Donc y a autant de solutions que de fonctions définies sur I.

[xyz1975]

Boff, je savais, je sais aussi que toute somme peut être écrite sous forme d'un déterminant, attention on joue pas avec les mots comme on veut, colinéarité de quoi et où? il ne faut pas quand même balancer des termes comme ça sans justification. Et quel est le lien entre la colinéarité (si on l'admet) et la résolution de cette équation.

[Skullkid]

Ben, en prenant le déterminant sous forme plus adaptée à l'exercice que je ne l'ai fait, colinéarité entre le vecteur (u(x),v(x)) et (-g(x),f(x)) dans IR² réel (et canonique, pour faire simple). Tout couple (u,v) de fonction qui vérifie cette colinéarité pour tout x de I satisfait l'équation initiale. C'est jamais qu'une façon géométrique de voir l'équation (pas celle que j'aurais choisie, mais...)

Après, vu qu'on n'a aucune hypothèse de régularité sur les paramètres et les inconnues, on peut pas faire avancer le schmilblick.