Tangente quand tu nous tiens...

[nekros]

Voilà un petit exercice niveau terminale je pense :

Soit dérivable sur telle que
Montrer qu'il existe un point tel que la tangente en de la courbe représentative de passe par

Bonne chance.

Thomas G :zen:

[aviateurpilot]

l'equation qu'une tangante en c'est ?

[Sdec25]

oui
Pour l'exercice je dirais que la tangente en 0 passe par 0 mais c'est sûrement trop simple pour être la solution.

[nekros]

aviateurpilot : oui c'est bien ça
Sdec25 : j'ai modifié l'énoncé

Thomas G :zen:

[aviateurpilot]

il existe dans ]0;1[ , a tel que
soit la fonction
on a g derivable sur [a;1[ telle que

donc il existe c de ]a;1[ tel que




(D): passe par O

[flight]

salut,

j'en suis pas sur , mais on peut peut etre faire plus simple;

l'équation de la tangente à C en c avec c compris entre 0 et 1

est donnée par

y(x)-y(c)=y'(c).(x-c)

comme y(0)=0 alors


y(0)-y(c)=y'(c).-c soit y(c)=c.y'(c)

et y(x)=y'(c).(x-c)+cy'(c) soit y(x)=x.y'(c)

[nekros]

aviateurpilot, g est dérivable sur ]0,1[

Thomas G :zen:

[aviateurpilot]

aviateurpilot, g est dérivable sur ]0,1[

oui, donc il est derivable sur [a;1[. avec 0<a<1

soit y(c)=c.y'(c)

il faut montrer que ce c existe
et c'est ce que j'ai fait
toi tu as dit directement soit "soit y(c)=c.y'(c)"

[Sdec25]

aviateur ta démo est pas mal mais il y a quelque chose qui ne va pas :
f ne s'annule pas forcément sur ]0, 1[
Sinon l'idée de g(x) = f(x) / x est bonne, mais comme la première condition n'est pas toujours vraie, il faut montrer que g' s'annule d'une autre façon.

Je commencerais en cherchant la condition nécessaire pour que la tangente passe par l'origine (ce qu'a fait flight il me semble) :
L'équation de la tangente en a est T(x) = f'(a) (x-a) + f(a)
La tangente passe par l'origine si pour x=0, T(x)=0, c'est-à-dire -af'(a) + f(a) = 0
f(a) = a f'(a)

Comme f(1) = f(0), la dérivée de f s'annule au moins une fois sur ]0, 1[

Soit


Comme f(1) = 0 et f'(1) = 0, alors au voisinage de 0 donc

g est continue sur ]0, 1[, on peut donc prolonger g par continuité en 0 et en 1 avec g(0) = g(1) = 0

Donc

donc il existe la tangente en a passe par l'origine.
CQFD

(je ne suis pas sûr que ce soit la méthode la plus rapide par contre)

[aviateurpilot]

f ne s'annule pas forcément sur ]0, 1[

ah ouiiiiiiii
mais quand j'ai trouvé cette solution
c'ete just avant :dodo:

[nekros]

Bonjour,

Il suffisait d'utiliser le théorème de Rolle (issu du théorème des accroissement finis)

Thomas G :zen:

[Sdec25]

Bonjour,

Il suffisait d'utiliser le théorème de Rolle (issu du théorème des accroissement finis)

Thomas G :zen:

Est-ce qu'il y a une autre solution que celle exposée ?

[nekros]

Justement je ne sais pas, et je n'en ai pas trouvé d'autres (dommage...)

Thomas G :zen:

[aviateurpilot]

avant de resoudre un probleme
je le l'imagine. :id:
pour que je trouve la solution plus vite

dans ce probeme je ne peut pas vous dire ce que j'ai imaginié
parce que je ne sais pas parler bien en francais mais je vais essayer.
voilà:
soit C un point de la courbe de f qui peut se deplacer de A(0,0) à B(1,0)
et (D) la tangente en ce point
(D) fait des rotations et forme une angle a avec l'axe des x
en A ,a=0
si dans un petit intervalle ]0,r[
quand C commence a se deplacer.
n'ai plus egale à 0
mais va surement revenir à 0
avant revenir à 0
(D) va surement passé par A(0;0)

(exactement entre le point d'inflexion et le point ou va etre egal à 0)
j'ai trouvé cette place sans la demontrer

apres cette petite imagination que j'ai pas pu la bien rediger en francais
j'ai commencer a faire les calcule