I^2 = -1 ? On nous aurait menti ?

[fhfhfufss]

Bonjour,


Quelque chose m'interpelle :

Le vecteur i est bien le vecteur unitaire de l'axe des ordonnés d'un repère. Donc sa norme vaut 1 comme l’abscisse de i est nulle.

Donc i^2 = 1^2 = 1 ce qui est différent de -1.

La figure suivante illustre mes propos :



Je ne vois pas mon erreur.

Pouvez-vous me venir en aide ?

Cordialement,

[Carpate]

Bonjour,
\

Quelque chose m'interpelle : (1;2K\pi)

Le vecteur i est bien le vecteur unitaire de l'axe des ordonnés d'un repère. Donc sa norme vaut 1 comme l’abscisse de i est nulle.

Donc i^2 = 1^2 = 1 ce qui est différent de -1.

La figure suivante illustre mes propos :



Je ne vois pas mon erreur.

Pouvez-vous me venir en aide ?

Cordialement,

\
Ce n'est pas parce qu'il sont désigné par la même lettre : i que et l'imaginaire pur sont la même chose



Mon affichage du vecteur i (\vec{i}) n'est pas très lisible !

Ajout:
Les composantes du vecteur unitaire i sont (0;1)
Les parties réelles et imaginaires du complexe i sont respectivement 0 et 1
Dans le plan complexe, le vecteur i a pour affixe i et le complexe i a pour image le vecteur i : c'est ce qui les relie
De même j vecteur unitaire de l'axe des abscisses a pour composantes et pour affixe
Les noms que tu as donné aux vecteurs unitaires ne sont pas très heureux. Il aurait mieux valu prendre i pour vecteur unitaire de l'axe des abscisses et j pour vecteur unitaire de l'axe des ordonnées pour éviter la confusion de nom

[fhfhfufss]

Merci,

Je ne comprenais pas.

Mais alors où est l'imaginaire pur i sur la figure ?

Quels sont ces coordonnés ?

Pourquoi ?


De plus je n'est pas compris les opérations que tu fais avec les coordonnés de i (j'ai un niveau de terminale s) :

[Carpate]

Merci,

Je ne comprenais pas.

Mais alors où est l'imaginaire pur i sur la figure ?

Quels sont ces coordonnés ?






Pourquoi ?


De plus je n'est pas compris les opérations que tu fais avec les coordonnés de i (j'ai un niveau de terminale s) :

Même en terminale S on doit savoir qu'un complexe est peut se caractériser de 2 façons

forme algébrique



forme trigonométrique :

que l'on note aussi

[fhfhfufss]

Même en terminale S on doit savoir qu'un complexe est peut se caractériser de 2 façons

Oui mais on écris la forme trigonométrique ainsi :



De plus pourquoi :


Et pas ?

[Carpate]

Oui mais on écris la forme trigonométrique ainsi :


Ce n'est pas contradictoire
on peut donc écrire

De plus pourquoi :


Et pas ?

Parce que multiplier 2 complexes c'est multiplier leurs modules et ajouter leurs arguments
C'est du cours donc je ne justifierai pas

[fhfhfufss]

Ok je viens de comprendre que est le module de i () ; et que est un argument de i (solution de l'équation : et


Ce qui signifie que est le point d'arrivé du vecteur i c'est bien ça ?

Parce que multiplier 2 complexes c'est multiplier leurs modules et ajouter leurs arguments
C'est du cours donc je ne justifierai pas

C'est pas très intuitif tout de même la démonstration de ceci est au programme ?

[Carpate]

Oui mais on écris la forme trigonométrique ainsi :



De plus pourquoi :


Et pas ?



Edit :

Ok je viens de comprendre que est le module de i () ; et que est un argument de i (solution de l'équation : et


Ce qui signifie que est le point d'arrivé du vecteur i c'est bien ça ?

Je dirais plutôt le vecteur i est l'image du complexe i avec les réserves sur le fait de donner la même lettre à 2 choses différentes.
De plus, il est habituel d'appeler i et j, respectivement, les vecteurs unitaires des axes des abscisses et des ordonnées (dont l'inverse de tes notations).

[Carpate]

Ok je viens de comprendre que est le module de i () ; et que est un argument de i (solution de l'équation : et


Ce qui signifie que est le point d'arrivé du vecteur i c'est bien ça ?


C'est pas très intuitif tout de même la démonstration de ceci est au programme ?

Si ce n'était pas au programme, on ne pourrait pratiquement faire aucun calcul sur les complexes;

[mathelot]

Dans le plan affine P de repère orthonormé
est un vecteur d'affixe i.
Le point J d'affixe i a pour coordonnées (0;1)

[fhfhfufss]

Merci pour ton aide je commence à y voir plus clair...

J'aurais encore besoin de précisions :

Je dirais plutôt le vecteur i est l'image du complexe i avec les réserves sur le fait de donner la même lettre à 2 choses différentes.

1. Dans mon cours il est écris qu'une image est un point et pas un vecteur...

De plus, il est habituel d'appeler i et j, respectivement, les vecteurs unitaires des axes des abscisses et des ordonnées (dont l'inverse de tes notations).

2. Pourquoi alors quand on place l'image de l'affixe z=a+ib on place b selon l'axe des ordonnés et a selon l'axe des abscisses ?


3. Pourquoi multiplies-tu ensuite par si multiplier de complexes c'est ajouter leur argument et multiplier leur module ?

4. Enfin j'ai toujours du mal a comprendre pourquoi malgré ton explication. En effet, je ne vois pas trop ce que c'est, géométriquement ; que de multiplier des points.... Ok on multiplie leur affixe mais pourquoi ? C'est pas dans mon cours je viens de vérifier :mur:

Cordialement,

[fhfhfufss]

Si ce n'était pas au programme, on ne pourrait pratiquement faire aucun calcul sur les complexes

On pourrait nous admettre la démonstration pour qu'on utilise le résultat.
Je ne trouve pas l'explication à ce que tu dis dans mon cours.

[Astro52]

4. Enfin j'ai toujours du mal a comprendre pourquoi

N'es-tu pas simplement en train de chercher le pourquoi d'une convention ?
Si le carré de i n'était pas négatif, ça serait un réel, pas un imaginaire. Pour ouvrir la porte à un ensemble de nombre non réel, il est inévitable d'écrire le blasphème i^2=-1 ... par convention.

[fhfhfufss]

N'es-tu pas simplement en train de chercher le pourquoi d'une convention ?
Si le carré de i n'était pas négatif, ça serait un réel, pas un imaginaire. Pour ouvrir la porte à un ensemble de nombre non réel, il est inévitable d'écrire le blasphème i^2=-1 ... par convention.

Il n'y a donc pas d'explication ?

[Astro52]

2. Pourquoi alors quand on place l'image de l'affixe z=a+ib on place b selon l'axe des ordonnés et a selon l'axe des abscisses ?

Ben c'est pas contradictoire avec ce qu'il a dit :
- En horizontal la partie réelle, donc qui n'est pas multipliée par i dans la notation mathématique ; et on appelle son vecteur unitaire comme on veut, mais surtout pas i, sinon c'est qu'on a vraiment envie de se compliquer la vie.
- en vertical la partie imaginaire, donc qui est multipliée par i dans la notation mathématique ; et c'est pas une idée trop tordue d'appeler son vecteur unitaire i même si c'est pas exactement la même chose.

[Astro52]

Il n'y a donc pas d'explication ?

Ben non. Les complexes ont été inventés pour trouver des solutions à des équations qui n'ont pas de solutions réelles. Donc on a été obligé pour démarrer de créer une valeur et une notation qui sortent de l'ensemble R.
Les propriétés qui s'expliquent découlent de l'affirmation i^2=-1 mais ne peuvent pas la remettre en question.

[fhfhfufss]

Ben c'est pas contradictoire avec ce qu'il a dit :
- En horizontal la partie réelle, donc qui n'est pas multipliée par i dans la notation mathématique ; et on appelle son vecteur unitaire comme on veut, mais surtout pas i, sinon c'est qu'on a vraiment envie de se compliquer la vie.
- en vertical la partie imaginaire, donc qui est multipliée par i dans la notation mathématique ; et c'est pas une idée trop tordue d'appeler son vecteur unitaire i même si c'est pas exactement la même chose.

Ok la réponse était sous mes yeux...

Sinon une idée pour le reste ?

[Carpate]

Merci pour ton aide je commence à y voir plus clair...

J'aurais encore besoin de précisions :

1. Dans mon cours il est écris qu'une image est un point et pas un vecteur...

2. Pourquoi alors quand on place l'image de l'affixe z=a+ib on place b selon l'axe des ordonnés et a selon l'axe des abscisses ?

3. Pourquoi multiplies-tu ensuite par si multiplier de complexes c'est ajouter leur argument et multiplier leur module ?

4. Enfin j'ai toujours du mal a comprendre pourquoi malgré ton explication. En effet, je ne vois pas trop ce que c'est, géométriquement ; que de multiplier des points.... Ok on multiplie leur affixe mais pourquoi ? C'est pas dans mon cours je viens de vérifier :mur:

Cordialement,

1) Je fais un copier-coller d'un cours (pris au hasard)
Affixe - image Soit (x, y) R 2 .
• L’affixe du point M de coordonnées (x, y) est le complexe z M = x + iy.
• L’affixe du vecteur u de coordonnées (x, y) est le complexe z u = x + iy.
• L’image du complexe de forme algébrique z = x + iy est le point M (x, y).
• Le vecteur image du complexe de forme algébrique z = x + iy est le vecteur u(x, y).
Effectivement on parle d'image pour un complexe (c'est donc un point)
et de vecteur-image pour un vecteur u(x,y) dont on connaît l'affixe z = x+iy

2) parce que dans la forme algébrique z=a+ib, a est par définition la partie réelle de z donc est portée par l'axe des abscisses (axe des réels) et b la partie imaginaire et est portée par l'axe des ordonnées (axe des imaginaires)


3) Dans : je n'avais pas écrit 1*1 pensant que c'était évident

4) on ne multiple pas des points mais des nombres complexes
Quand on multiple i par lui-même, on applique le complexe i au complexe i dont le vecteur image est le vecteur unitaire de l'axe des ordonnées.
Or multiplier par i c'est appliquer la rotation au vecteur image on obtient donc un vecteur dirigé selon l'axe des abscisses et de sens opposé à son vecteur unitaire soit le vecteur(-1,0) dont l'affixe est le complexe
J'arrive pas à croire que l'on ne définit pas le produit de 2 complexes dans ton cours !

[fhfhfufss]

1) Je ne pense pas que les vecteur image de complexe soit au programme mon prof n'a jamais fais le lien entre les complexes et les vecteurs... Effet de la réforme des lycées ?

3) où

Je ne vois pas pourquoi tu multiplie S par ?

4)

Tu ne veux pas dire pour faire une rotation de 180 degrès et changer le sens du vecteur ?


De plus je ne me souviens pas avoir entendu que quand on multiplie des complexes on fais une rotation...

[Carpate]

1) Je ne pense pas que les vecteur image de complexe soit au programme mon prof n'a jamais fais le lien entre les complexes et les vecteurs... Effet de la réforme des lycées ?

3) où

Je ne vois pas pourquoi tu multiplie S par ?

Tu ne veux pas dire pour faire une rotation de 180 degrès et changer le sens du vecteur ?


De plus je ne me souviens pas avoir entendu que quand on multiplie des complexes on fais une rotation...

Tu ne lis pas attentivement ce que j'écris et de plus, dans ce que tu écris, différent de ce que j'ai écrit :

tu introduis S sans nous l'avoir présenté !
Qui est ce monsieur ou cette dame ?
Question programme je ne suis pas compétent, les années lycée remontant à quelques 4 décennies !