Raisonnement faux : pourquoi ?

[J-R]

bonjour,

j'ai un petit problème:

prouver que a=6k+5 et b=8k+3 n'ont que 2 diviseurs communs positifs. (k relatif)

j'ai dit: soit d un diviseur commum à a et b donc il divise toute combinaison linéaire de a et b.

j'ai fait d|8a-6b donc d|22. là on constate que d=1 ou d=2 ou d=11 ou d=22 soit 4 diviseurs !!

je résume j'ai montrer que : d|a et d|b => d|22 mais pourquoi ce raisonnement est faux ?

merci

:we:

[J-R]

:up:

merci

[emdro]

Hello,

Ton raisonnement prouve que d|a et d|b => d|8a-6b.
Mais personne ne dit que d|8a-6b n'implique d|a et d|b!

D'ailleurs d|8a-6b => d|2(4a-3b). Il se peut qu'il y ait un facteur 2 dans d, qui divisera 8a-6b sans pour autant diviser (4a-3b)...

[rene38]

Bonjour

j'ai montré que : d|a et d|b => d|22 mais pourquoi ce raisonnement est faux ?

Parce-que d|22 => d|a et d|b est faux


a=6k+5 et b=8k+3 sont de toute évidence des nombres impairs donc si d est un diviseur de l'un ou de l'autre ou des deux, ce ne peut être ni 2 ni 22.

[J-R]

bonjour emdro et rene38,

d'accord dans ces cas là il faut que la réciproque soit vraie et en fait ca marche pour les plus petits coefficients : c'est le facteur 2 qui met tout en l'air.

donc en fait seul 11 et 1 convienne

merci a+

[rene38]

d'ailleurs, au lieu de "j'ai fait d|8a-6b donc ..." tu aurais pu écrire

"j'ai fait d|4a-3b donc ..."

C'est toi qui as introduit le 2 ; il n'était ni dans a ni dans b.