Fonction valeur absolue bijective, oui mais pourquoi...

[Shadokcontrarié]

Bonjour tout le monde.

Voilà mon soucis, ayant oublié quelques peut certaines de mes notions mathématiques du lycée, je me trouve en ce moment bloqué sur un exercice (j'ai du me remettre au math récemment) dont voici l'énoncé:

Il faut dire si l'application f:A->B suivante est injective, surjective ou bijective :

A=R B=R

f(x) = 3x-2|x| et si elle est bijective, calculer ca réciproque.

Le corrigée de l'exercice dit tres succintement qu'elle est bijective.
Bien que je me souvienne à peu pret de ce qu'est une valeur absolue, j'avoue
que je ne parviens vraiment pas à démontrer que cette fonction et belle et bien bijective et encore moin à calculer ca réciproque. :hein:

Si quelqu'un pouvait m'expliquer déjà comment procéder à l'étude d'une fonction de ce type et ensuite me donner des pistes pour prouver sa bijectivité et sa fonction réciproque je lui serai tres reconnaissant.

Ps1: j'espere que ce topic à sa place dans la rubrique lycée sinon prévenez moi.
Ps2: comment fait on pour écrire des symboles mathématiques dans le forum ?

Merci par avance.

[thomasg]

Bonjour, si je ne commet pas d'erreur on a:
si x positif alors f(x)=x donc f est une bijection de R+ dans R+

si x négatif alors f(x)=5x donc f est une bijection de R- dans R-

le cas de x=0 est immédiat.

Pour la réciproque je vais chercher un peu.

A bientôt.

[thomasg]

Rebonsoir,

la fonction réciproque est donc

f(x)=sup(x;x/5) (sauf erreur toujours possible de ma part)

A bientôt.

PS: pour les symboles maths, il faut utiliser LATEX je crois, mais je n'ai jamais eu le courage de m'y mettre.

[Shadokcontrarié]

si x négatif alors f(x)=5x donc f est une bijection de R- dans R-

Merci beaucoup Thomas une telle rapidité, j'avais aussi remarqué que f(x)=5x dans le cas ci-dessus.

Mais en revanche j'avais constaté ce résultat de manière empirique, comment procéde on point par point?

En fait j'aimerai connaitre une méthode pour traiter ce genre de fonction et pouvoir énoncer les étapes dans le détail (idem pour le calcul de la réciproque),
afin de parfaitement assimiler le raisonnement.

Hummmrr.. je suis un peu maniaque, désolé.

[thomasg]

Bonjour,

lorsqu'il y a une valeur absolue, il est souvent intéressant de distinguer deux cas:
Si x est positif alors |x|=x
Si x est négatif alors |x|=-x

Ensuite sur chacun des deux intervalles tu peux dériver la fonction, dans le ca où la dérivée est positive (ou négative) la fonction est alors monotone on en déduit qu'elle est bijective de son ensemble de départ sur son ensemble d'arrivée.

En espérant t'avoir apporté un peu d'aide, à bientôt.

[Shadokcontrarié]

Ah ok, je pensai en fait que pour un nb Réel quelconque on considerait que :

|-a| = a et |a| = a

Dans ce cas si je comprend bien ton explication

lorsqu'il y a une valeur absolue, il est souvent intéressant de distinguer deux cas:
Si x est positif alors |x|=x
Si x est négatif alors |x|=-x

Sont des cas qui se limite strictement au domaine des études de fonction ?

[thomasg]

Non, c'est égalités sont toujours valables. Cependant d'autres lois peuvent s'appliquer aux valeurs absolues, et il faut parfois utiliser autre chose que ces deux égalités.

A bientôt.