Complexes : i² = -1 (pourquoi ?)

[sad13]

ou t'as bon bon haribo lol , c'est bien continues tes révisions

[Maths_Forever]

Merci pour toutes vos explications sur les complexes !
Depuis quelques jours que je poste sur ce forum, ça m'aide bien.
Vos réponses sont constructives et comprendre les choses fait
que j'aime de plus en plus les mathématiques ! :zen:

[Nightmare]

Pour illustrer mon dernier paragraphe, je te propose l'exemple (calculatoire) suivant :

On désirer factoriser par exemple . On sait que si un polynôme admet a pour racine, alors il est factorisable par (X-a). Problème ici, ce polynôme n'admet aucune racine (réelle) puisque comme tu le dis si bien, un carré est toujours positif dans R, donc . Est-ce pourtant impossible d'obtenir une factorisation de ce polynôme ?

Si j'avais donné à la place, une réponse simple aurait été d'écrire que avec l'identité remarquable a²-b²=(a-b)(a+b).

Problème ici, c'est a²+b² et non a²-b² ... Admettons alors, sans justifier, qu'il existe un certain nombre imaginaire i tel que i²=-1. Alors, on peut écrire que . En admettant aussi qu'avec ce nombre imaginaire, on a les même règles de calcul que dans R, alors on pourrait écrire que

Une nouvelle fois, on peut supposer qu'il existe un nouveau nombre tel que cette fois-ci (c'est à dire tel que !)

Alors de même, on pourrait écrire que et :


Et au final, on obtiendrait la factorisation "imaginaire" : . Ceci n'apporte pas vraiment grand chose, puisqu'on obtient une factorisation qui contient des nombres qui a priori n'existent pas.

Mais, chose étrange, si on regroupe autrement les facteurs, on obtient le résultat surprenant suivant :



Mais et on peut remarquer que ce qui laisse entendre que et donc qu'au final,

De même, on obtiendrait que et pour finir, que et tu vérifieras que cette factorisation est ... exacte !

Ainsi, en introduisant un nombre imaginaire (même deux), et en faisant des calculs avec, on arrive à obtenir un résultat qui est bien réel!

[Sylviel]

Pour compléter l'exemple de Nightmare sur l'utilité des complexes : l'analyse complexe (théorie des fonctions de C dans C) fournit des méthodes (dont les physiciens sont friands) pour le calcul d'intégrales particulièrement compliquées (et bien réelles) qui peuvent apparaître en électromagnétisme...

[Maths_Forever]

On peux représenter les complexes comme les points du plan, et non plus seulement d'une droite (les réels). Et multiplier par i devient alors une rotation de pi/2. Du coup i²= 1*i*i. Donc tu prends le point 1 (c'est à dire de coordonées (0,1)) et tu lui fais faire deux rotations successives de pi/2, tu vas obtenir le point ...

J'avais oublié de demander : c'est bien ça le cercle trigonométrique ?


@ Nightmare : Je crois que je commence à comprendre les complexes et la notion de nombre imaginaire. Le fait qu'on prenne des nombres imaginaires pour arriver à une expression réelle à la fin me semble possible et je comprends là le raisonnement mathématique. Mais il va falloir que je m'entraîne un peu je pense, afin de bien maîtriser tout ça. Mon problème pour l'instant, c'est de prendre des valeurs imaginaires. Pour moi, actuellement, elles sortent un peu de nulle part, puisqu'on admet des choses, sans justification. J'espère que je finirai par comprendre... :ptdr:

Bien, je vais travailler la suite du chapitre aujourd'hui, faire quelques exos aussi.
A priori, ce topic peut être fermé. Merci encore à tous ! :lol3:

[Ben314]

Salut,
Je pense qu'au niveau Lycée (donc sans construction rigoureuse des complexes), le point de vue permettant d'un peu comprendre que "ça ne sort pas de nulle part" est le point de vue géométrique :
On représente les réels en traçant une droite (tu as du faire ça de multiple fois au collège pour visualiser la relation d'ordre sur R) puis on "invente" de nouveau nombre pour arriver à représenter tout un plan (appelé... plan complexe) : évidement, les nouveaux éléments qui ne sont pas sur la droite ne sont pas des réels.
Pour reprendre l'exemple de Sylviel, tu constate que, sur la droite réelle, multiplier un nombre par -1, ça revient à prendre son symétrique par rapport au réel 0, c'est à dire à faire faire un demi tour à l'axe réel (3 donne -3 ; -7 donne 7 , etc...). Peut on faire un demi tour en enchainant deux fois la même "opération" géométrique ? Bien sur que oui : il suffit de prendre comme opération un quart de tour, mais le problème, c'est que, si on fait faire un quart de tour à la droite représentant les réels, ben on retombe pas sur la même droite... Il faut donc "inventer" des nouveaux nombres correspondant à cette nouvelle droite (le seul point commun de cette nouvelle droite avec l'axe réel est le réel 0).

Quand à l'utilité des complexes, elle est immense : quasiment TOUT ce résoud plus facilement dans C que dans R.
Pour te donner un autre exemple où les complexes sont archi utiles, c'est la trigonométrie.
Tu as du apprendre par cœur les formules :
et qui semblent "peu logiques"
Avec les nombres complexes, ces deux formules se résument à une seule :
bien plus courte et plus "naturelle".

[Doraki]

moi en terminale on m'avait donné une construction rigoureuse des complexes.
un nombre complexe c'était un couple de nombre réels, et on définissait
(a,b)*(c,d) = (a*c-b*d,a*d+b*c),
(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d),
|(a,b)|² = a²+b²,

on vérifiait que c'était associatif / commutatif / distributif,
que le module est une norme, du coup que si un produit est nul alors l'un des facteurs est nul,
on vérifiait que R s'identifiait à R*{0},
que si on appelait i = (0,1), alors i² = -1,
et que (cos(a)+i*sin(a))*(cos(b)+i*sin(b)) = cos(a+b)+i*sin(a+b).

Le seul truc qu'on ne nous avait pas tellement expliqué, c'était en quoi c'était sensé de dire que e^ix = cos x + i*sin x

[Ben314]

moi en terminale on m'avait donné une construction rigoureuse des complexes.
un nombre complexe c'était un couple de nombre réels, et on définissait
(a,b)*(c,d) = (a*c-b*d,a*d+b*c),
(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d),
|(a,b)|² = a²+b²,

on vérifiait que c'était associatif / commutatif / distributif,
que le module est une norme, du coup que si un produit est nul alors l'un des facteurs est nul,
on vérifiait que R s'identifiait à R*{0},
que si on appelait i = (0,1), alors i² = -1,
et que (cos(a)+i*sin(a))*(cos(b)+i*sin(b)) = cos(a+b)+i*sin(a+b).

Le seul truc qu'on ne nous avait pas tellement expliqué, c'était en quoi c'était sensé de dire que e^ix = cos x + i*sin x

Sauf que tout ce que j'ai mis en gras, il me semble bien que c'est plus du tout dans les clous de ce qu'on fait au Lycée (c'est à se demander si celui que j'ai mis en rouge à encore un sens au Lycée... )

Sinon, perso, à mon époque (c.f. bouquin de Term. C et E de chez BELIN edition 1980) c'était encore plus simple : les complexes, c'est les matrice 2x2 de la forme ((a -b) (b a)) et il y a juste à vérifier que c'est un sous anneau commutatif de M2(R) dans lequel tout élément non nul a un déterminant non nul...

En plus, au fond, il n'y avait pas grand chose de nouveau vu que, en première, on avait étudié l'ensemble des matrices ((a -b) (b a)) telles que a²+b²=1 pour pouvoir définir la notion d'angle orienté.... :mur:

[Doraki]

J'évite de me tenir au courant de ce qui est ou pas au programme ces dernières années.

J'aurais bien aimé être à ton époque vu que les liens avec la géométrie sont beaucoup plus clairs quand les complexes sont des matrices.


Ce qui m'a choqué dans ce sujet c'est que y'a des questions sur des complexes et nulle part (que ce soit de la part de maths_forever ou des autres) y'a eu de tentative de dire "alors un complexe c'est ça, les opérations qu'on fait dessus c'est ça ...". Du coup Maths_Forever nous parle de "i", et j'commence à croire qu'en fait on lui a jamais dit ce que c'était et qu'il ne se rend pas compte qu'il n'en a jamais eu de définition et que ça ne le gêne pas alors que ça devrait.

Alors Maths_Forever, si un jour on t'a dit "un nombre complexe c'est ça, i, c'est lui, les opérations on les fait comme ça..." eh bien pour vérifier que i² = -1 il suffit de suivre les définitions. Si tu as un problème on t'encourage à poster les définitions que tu as pour qu'on puisse t'aider.

Si on ne t'a jamais dit ce que c'était qu'un nombre complexe, ben tu ne poses pas la bonne question, et la question que tu devrais poser c'est "tous ces gens là ils parlent d'un nombre i mystique tel que i*i = -1 mais moi je sais pas ce que c'est. pouvez-vous me dire ce qu'est i".

Si on t'a dit "i existe et i*i = -1", bah c'est largement insuffisant pour t'expliquer correctement les nombres complexes.

[ffpower]

En même temps on admet pendant une bonne partie de la scolarité l'existence des réels, et on arrive à s'en sortir :)

[Doraki]

C'est parcequ'on a des calculatrices quand on doit faire des opérations sur les réels, voyons.
Grâce à elles, on a aucune question à se poser.

[Ben314]

C'est parcequ'on a des calculatrices quand on doit faire des opérations sur les réels, voyons.
Grâce à elles, on a aucune question à se poser.

Je rajouterais que, niveau post bac, quand on dit aux étudiants que ça serait quand même pas con si on avait une définition rigoureuse de ce qu'est un nombre réel, on sent qu'il y en a beaucoup qui ouvrent des yeux rond...

[Black Jack]

Le fait que i² = -1 ... Moi je m'en fout royalement.

Mais le fait que les solutions imaginaires de certaines équations correspondent à des comportements bien spécifiques de certains systèmes (qu'ils soient mécaniques ou électriques ou ...) m'intéresse au plus haut point.

Et cela me pousse donc à ne pas pas négliger les grandeurs "imaginaires" ou "complexes" puisque leurs manipulations me permettent de déduire et de comprendre des comportements bien concrets de systèmes mécaniques ou électriques.

Donc il ne faut pas penser "imaginaire" comme "qui n'existe pas" et donc "sans intérêts concrets"...
Ce serait complètemeant faux.

:zen:

[Maths_Forever]

Whoa ! Je vois qu'il y a eu pleins d'interventions. Alors, je vais tenter de
répondre un peu à chacune :

@Doraki : Si tu as bien lu mes posts, tu verras que je pose et repose des tas de questions pour bien comprendre toutes les notions du monde merveilleux des complexes ! :zen: Et surtout, ce mystérieux i² = -1 qui, comme je l'ai reconnue semble sorti de nulle part. J'ai enfin compris lorsque l'on a parlé de repère (d'abscisse, d'ordonnée, de trigonométrie). D'ailleurs, vous ne m'avez pas répondu:

on utilise bien un cercle trigo lorsque l'on dit que l'on fait des rotations de i pour arriver au point de coordonnées (0;-1) ?

@Ben314 : En effet, je suis d'accord, il y a des choses qu'on ne peut pas vraiment expliquer, comme la définition rigoureuse d'un nombre réel. On comprends, on dit que les réels c'est un ensemble, on arrive à l'utiliser, mais bon, ça reste une notion obscure (si toutes les notions ne sont pas déjà obscures, par définition :zen: )

@ Black Jack : Oui, moi aussi je trouve intéressant que les complexes soient utilisés dans pleins d'autres matières, comme la mécanique ou l'électromagnétisme. :lol3:

Merci à tous pour vos interventions constructives. Petite précision, au cas où vous
ne l'auriez pas compris, je n'ai pas encore vu tout le chapitre sur les complexes.
Je préfère poser mes questions au fur et à mesure, afin d'avancer progressivement.
D'ailleurs, la question de ce topic portait sur la "formule" : i² = -1

[benekire2]

En plus, au fond, il n'y avait pas grand chose de nouveau vu que, en première, on avait étudié l'ensemble des matrices ((a -b) (b a)) telles que a²+b²=1 pour pouvoir définir la notion d'angle orienté.... :mur:

...matrice de rotations, joli :zen: En plus ça nécéssite quasi 0 prérequis puisque j'ai l'impression que l'algèbre linéaire tient sur ses pieds !

Au lycée on ne défini quasi rien et c'est mieux ainsi , parce que sinon ça alourdis le cours pour la majorité des élèves, les intéressés sont capables d'aller se renseigner ,

néamoins c'est vrais qu'on défini rien , et je me rapelle au collège , je m'étais dit : " Mais comment défini-on le cosinus" et puis le prof au lycée nous a dit "Tadan ! Le sinus c'est une fonction ( où tu regarde le cercle trigo tout le temps) " définition qui m'a suffit un an , et puis après je me suis demandé, mais comment défini-on réellement la fonction sinus ? Et bien il a fallu attendre avant d'avoir une vraie définition qui ne repose sur rien de présupposé "évident mais qu'on laisse le soin aux autres de démontrer" , c'est comme avec R , une fois qu'on a vu la construction ( en admettant celle de N, puis en construisant Z et Q par relations d'équivalences puis en construisant R par les coupures de Deedkind ) on trouve ça plus propre !!

[Nightmare]

Ben, au collège le cosinus est bien défini non? Dans un triangle rectangle, c'est le rapport des longueur du côté adjacent et de l'hypoténuse. Bon ce qui n'est pas dit et qui est nécessaire pour justifier cela, c'est que ça ne dépend pas du triangle rectangle choisi, mais ça, c'est juste le théorème de Thalès.

[Sylviel]

Du coup Maths_Forever nous parle de "i", et j'commence à croire qu'en fait on lui a jamais dit ce que c'était et qu'il ne se rend pas compte qu'il n'en a jamais eu de définition et que ça ne le gêne pas alors que ça devrait.

Parfois ce genre d'affirmation m'énerve... Je ne sais pas pourquoi tout le monde pense qu'avoir une construction logique de tout ce sur quoi on travaille est nécessaire. Certes, en arrivant en prépa, j'ai regretté de ne pas avoir eu une construction correcte des nombres alors que d'autres classes l'avait. Mais moi mon père m'a présenté i aux alentours de la troisième et je me suis toujours bien amusé avec. Plus tard j'ai vu le lien avec la géométrie etc...

Je sais que je vais à l'encontre de la plupart des mathématiciens mais je ne trouve pas qu'une présentation de i comme une matrice soit plus claire, et je suis persuadé que cela paumerait encore plus d'élèves ! En revanche une compréhension intuitive me semble importante (et le fait que z soit une manière économique de noter les coordonées d'un point ça me semble encore le mieux). Après avec "i = V(-1)" en plus ça suffit amplement pour bien pouvoir manipuler le tout.

Je crois que l'intuition reste bien après que la construction rigoureuse, ou que les formules apprises ne soit oubliées...

[Ben314]

Pour répondre à Sylviel, d'un certain point de vue, je suis assez d'accord.
Je me souvient en particulier que, lorsque j'était au Lycée, je trouvais ça pas con la réforme Habby (qui était juste derrière moi) qui commençait à "simplifier" une partie de la présentation des maths pour la rendre plus compréhensible. Ce point de vue venait plus précisément de l'impression que j'avais que, par exemple la présentation des quotients comme classe d'équivalence de couples d'entiers par une relation d'équivalence, ben ça passait nettement au dessus de la tête de 95% des gamins (c'était en quatrième).

Sauf que depuis, sans avoir totalement "retourné ma veste", je suis quand même un peu stupéfait des résultats (ou plutôt de la partie que j'en aperçoit) : J'ai entendu trés souvent des étudiants de L3 (voire de M1), parlant de cette notion de classe quotient par une relation d'équivalence (présentée dans le temps en...quatrième) dire que... c'était extrèmement compliqué... (ça me donne des sueurs froides...)

L'autre truc (beaucoup plus subjectif), c'est que ça me donne un peu l'impression que l'on "fabrique" des individus (et surtout des... citoyens qui vont aller voter) qui sont tout à fait à même d'accepter n'importe quel truc "qui tombe du ciel" sans se poser le début de la moitié de la question "d'où ça sort cette affirmation ?"

[Maths_Forever]

@Sylviel : Effectivement, l'intuition est ce qui est certainement le plus utile, même en maths. Mais voilà, ça ne fait pas tout !De plus, d'une classe à une autre, d'une génération à une autre, on a des programmes un peu différents, ou du moins établis différemment. Du coup, on demande parfois des justifications, des démonstrations à notre époque, qu'on demandait pas à une autre. En règle général, en mathématiques, il y a beaucoup de choses liées. Où je veux en venir ?
Eh bien, ce que je veux dire, c'est qu'on doit se forcer à faire des recherches personnelles, à s'avancer en quelque sorte et à établir des liens entre les chapitres. Croyez-moi, je sais de quoi je parle !
Bon, je prends un exemple, n'allez pas titiller, ça ne reste qu'un exemple :
En classe de troisième, je vois ce que c'est qu'une fonction affine. En classe de seconde, on me parle de fonction linéaire et parfois, on oublie de dire que ce n'est qu'en fait une fonction affine particulière (lorsque la constante est nulle). Du coup, on ne voit pas forcément le lien. On apprend "bêtement" qu'il existe deux fonctions : une qui s'appelle linéaire, une qui s'appelle affine. Et c'est un peu dommage de ne pas voir le rapport.
Alors, évidemment ça dépend des cas : parfois, il y a des trucs qu'on voit en terminale qu'un élève de troisième peut comprendre, parfois il vaut mieux attendre. Tout est histoire de relativisme ! :ptdr:

L'autre truc (beaucoup plus subjectif), c'est que ça me donne un peu l'impression que l'on "fabrique" des individus (et surtout des... citoyens qui vont aller voter) qui sont tout à fait à même d'accepter n'importe quel truc "qui tombe du ciel" sans se poser le début de la moitié de la question "d'où ça sort cette affirmation ?"

Oui, la curiosité est un excellent moyen de progresser et de ne pas être trop conditionné. J'ai vu des profs de maths qui répondaient souvent : "c'est comme ça !" ce qui en fait cache un "je ne sais pas !"

[Doraki]

Je suis d'accord que l'intuition, c'est utile.
Placer les nombres réels sur une droite, dire qu'un réel positif ça peut être la longueur d'un segment, c'est très bien pour se faire une image de ce qu'est un réel, comment on les additionne.
(pour les multiplier, c'est un peu autre chose, et pour comprendre que la multiplication est commutative...)

Pour le coup des nombres complexes, ça commence être difficile de donner une intuition à un nombre qu'on appelle imaginaire en vertu de sa capacité à ne pas exister.
D'autant plus que la construction de C à partir de R est quand même pas super dure, comparé à Z -> Q ou Q -> R, qui sont plus compliquées.

Enfin bon, moi j'ai bien aimé (oh il a défini + et *, et.. et... et ça marche tout bien comme il faut !! et je peux jouer avec les définitions !!)
Vu qu'on n'a pas essayé de me faire faire des calculs sur les nombres complexes sans les définir, je peux pas trop savoir comment j'aurais apprécié une autre approche.


Sinon, H.S. mais pour rebondir sur "il existe deux fonction : la fonction affine et la fonction linéaire", moi, la seule chose que j'ai tiré de ma calculatrice graphique, c'est que y'a plein de fonctions et que ça m'amusait de faire les graphes les plus bizarres possibles.