Complexes : i² = -1 (pourquoi ?)

par **Maths_Forever** » 06 Déc 2010, 17:09

Bonjour,
Je suis en train de voir le chapitre sur les complexes.
J'ai commencé par regarder quelques vidéos du site : www.video-maths.fr Alors, j'ai plusieurs questions sur l'exemple suivant.
J'espère que vous pourrez m'aider. :we:

1. Tout d'abord, pourquoi mettre

et

entre parenthèses ? N'est-ce pas pareil que si on avait écrit

et

? (peut-être est-ce du à une simplification d'écriture)

2. Ensuite, on dit dans le cours que on peut écrire :

(ça, je comprends) et que

(ça, je vois pas pourquoi ?)

On me dit aussi dans la vidéo que

(pourquoi ?)

Merci d'avance ! :lol3:

par **Nightmare** » 06 Déc 2010, 17:11

Salut,

c'est quoi ce "i" dont on parle pour toi?

par **Maths_Forever** » 06 Déc 2010, 17:17

D'après ce que l'on me dit, ça correspond à un nombre imaginaire.
D'ailleurs, je me demandais (ben oui, j'ai pleins de questions :ptdr:) :

Quelle est la différence entre un nombre imaginaire (noté i dans ce chapitre sur les complexes)
et un nombre inconnu (noté x qu'on voit en troisième, seconde, etc...) ?

par **Euler07** » 06 Déc 2010, 17:43

Etant fondateur de cette notation (et oui Euler, en 1777), c'est un ensemble "C" dont il existe un élément le i tel que i²=-1, je préfère l'admettre mais si tu veux c'est une notation de base aux calculs complexes...

par **Maths_Forever** » 06 Déc 2010, 17:47

Génial ! Qui mieux que le fondateur de la notation des complexes peut répondre à mes questions ! :we:
Bon, alors oui je me doute que c'est un truc à apprendre par coeur. Mais je me demande
toujours pourquoi ?

Après tout, un carré n'est-il pas toujours positif ? Si oui, alors comment i^2 peut être égal à un nombre
négatif ? Est-ce parce que cette notion n'est valable que pour les nombres réels et pas les nombres
complexes comme ici ?

par **Euler07** » 06 Déc 2010, 17:52

Si on voulait résoudre dans R x²+x+1=0 tu verrais bien qu'il n y a aucune solution car ton discriminant est négatif... Cette notation i²=-1 permet malgré tout d'en trouver (dans ce cas on se place dans C). C'est comme résoudre x+5=3 (comment on fait si les nombres négatifs n'existaient pas ??)

par **Maths_Forever** » 06 Déc 2010, 18:04

Donc en fait, dans R (ensemble des réels),

n'a pas de solutions (car discriminant négatif)

Et, dans C (ensemble des complexes),

peut être résolu.
Avoir cette équation :

c'est donc comme avoir cette équation :

?

par **Euler07** » 06 Déc 2010, 18:05

Ah non ! x est un inconnu et i est un nombre

par **Maths_Forever** » 06 Déc 2010, 18:16

Bon, je dirais que pour le raisonnement, je comprends, mais je n'ai pas encore tout compris
d'un point de vue théorique :

1. Pourquoi i^2 = -1 (en fait, pourquoi un nombre négatif, vu que i est un carré ?)
2. Mis à part pour nous faire apprendre le cours, à quoi ça sert les complexes dans la vie ? Par exemple, les inconnues (les x), on peut les réutiliser dans la vie quotidienne, mais les complexes, ça permet de faire quoi ?

Euler 07 a écrit:Ah non ! x est un inconnu et i est un nombre

x aussi est un nombre, non ? Inconnu, certes mais un nombre.

et i est un nombre ok, mais il est aussi inconnu, non ?

Je m'y perds ! :ptdr:

par **Euler07** » 06 Déc 2010, 18:21

i²=-1 parce que ! J'ai du l'inventer pour m'en servir... Ba je suis allergique aux autres matières mais on s'en sert pas mal en électricité (théorique quand même).

i est un nombre, ok particulier mais c'est pas un inconnu par exemple résoudre i-5=6 n'a pas de sens...

par **Maths_Forever** » 06 Déc 2010, 18:28

Oui, je comprends, en règle générale d'ailleurs, on a inventé les mathématiques, mdr.
Mais on ne peut pas non plus inventer n'importe quoi. Moi aussi, je pourrais dire :
Tiens à partir d'aujourd'hui, 4 sera un négatif. Mais on aurait un peu de mal à comprendre
pourquoi, si un jour j'ai x = 4 - 2 Est-ce que le résultat est : x = 2 ? Pas forcément, puisque
je viens de dire que 4 était négatif, donc on pourrait avoir x = -6

Enfin bref, tout ça pour dire qu'il faut que ça ait un minimum de sens. Je comprends toujours
pas pourquoi i^2 = -1 ! Je sais, je suis difficile à convaincre ! :ptdr:
En fait, il y a juste une hypothèse qui me conviendrait actuellement, mais je suis pas sûre qu'elle soit vraie. Ce serait : "on utilise seulement : i^2 = -1 dans les calculs de complexes." Est-ce ça ?

par **Euler07** » 06 Déc 2010, 18:32

Je ne sais pas ta classe mais l'ensemble C des nombres complexe se construit, mais c'est encore beaucoup plus dur à démontrer son existence ainsi que ce qu'il contient... Oui il y a que dans C que l'on a se genre de chose i²=-1...
Tu veux que 4 soit négatif, dans quelle utilité ? Par contre i²=-1 c'est mieux puisque les solution de plusieurs équation se résolvent... :p

par **Euler07** » 06 Déc 2010, 18:33

Au passage i²=-1 pourquoi ? Tu veux quoi que ça vaut -2, dans ce cas c'est serait pas facile les calculs :p ^^

par **Maths_Forever** » 06 Déc 2010, 18:44

Euler 07 a écrit:l'ensemble C des nombres complexe se construit, mais c'est encore beaucoup plus dur à démontrer son existence ainsi que ce qu'il contient...

Ca, ça m'intrigue. Je suis en terminale ! ^^ Et je fais de grandes révisions là, parce que je suis pas trop au point. J'aimerais avoir une bonne note au bac ! :we: Du coup, je n'hésite pas à poser toutes les questions, même les plus bêtes.

Euler 07 a écrit:Tu veux que 4 soit négatif, dans quelle utilité ? Par contre i²=-1 c'est mieux puisque les solution de plusieurs équation se résolvent... :p

Il faut dire que je n'en suis qu'au début de ce chapitre (et que en classe de terminale). Peut-être que je ne vois pas l'intérêt aujourd'hui ! ^^

par **Nightmare** » 06 Déc 2010, 18:47

Salut,

Maths_Forever a écrit:Mais on ne peut pas non plus inventer n'importe quoi. Moi aussi, je pourrais dire :
Tiens à partir d'aujourd'hui, 4 sera un négatif.

la différence, c'est que 4 ça existe déjà, et que c'est définit comme étant positif. Oui, c'est vrai, le carré d'un nombre réel est positif. Maintenant, est-ce incohérent de parler d'un nombre i tel que i² = -1 ? La réponse est non, à partir du moment où l'on décide que i n'est pas un nombre réel.

Donc quand tu dis "on ne peut pas non plus inventer n'importe quoi", ben si, à condition de lui donner un sens qui lui est cohérent avec ce qui a déjà été défini en mathématiques. Maintenant, il faut aussi que notre "invention" ait un minimum d'utilité.

Pour l'invention de i de par exemple, les mathématiciens ont remarqués qu'en menant des calculs avec un nombre imaginaire, on arrivait à des résultats réels (chercher méthode de Cardan sous google), ce qui a incité les mathématiciens à travailler avec ce nombre qui a priori n'existe pas, puis par la suite a essayer de lui donner un sens concret, par exemple par la géométrie.

par **Euler07** » 06 Déc 2010, 18:49

J'espère que cela va un peu le persuader !

par **Euler07** » 06 Déc 2010, 18:50

Euler 07 a écrit:J'espère que cela va un peu le persuader !

Ps : T'expliques bien Nigthmare

par **Maths_Forever** » 06 Déc 2010, 18:50

Nightmare a écrit:la différence, c'est que 4 ça existe déjà, et que c'est définit comme étant positif. Oui, c'est vrai, le carré d'un nombre réel est positif. Maintenant, est-ce incohérent de parler d'un nombre i tel que i² = -1 ? La réponse est non, à partir du moment où l'on décide que i n'est pas un nombre réel.

Donc quand tu dis "on ne peut pas non plus inventer n'importe quoi", ben si, à condition de lui donner un sens qui lui est cohérent avec ce qui a déjà été défini en mathématiques. Maintenant, il faut aussi que notre "invention" ait un minimum d'utilité.

Tout à fait d'accord avec ça ! C'est d'ailleurs ce que je voulais dire ! :lol3:

Nightmare a écrit:Pour l'invention de i de par exemple, les mathématiciens ont remarqués qu'en menant des calculs avec un nombre imaginaire, on arrivait à des résultats réels (chercher méthode de Cardan sous google), ce qui a incité les mathématiciens à travailler avec ce nombre qui a priori n'existe pas, puis par la suite a essayer de lui donner un sens concret, par exemple par la géométrie.

Ah, intéressant ! Je vais faire des recherches là dessus. Merci !

par **Sylviel** » 06 Déc 2010, 19:02

Pour un petit retour à une question antérieure : les complexes servent aussi en géométrie par exemple, pour se simplifier la vie. Dans la "vie réelle" on les voit reparaître régulièrement (dès que tu as des ondes ils sont bien pratiques typiquement)...

Pour te convaincre de "i²=-1" je prends de l'avance sur ton cours... On peux représenter les complexes comme les points du plan, et non plus seulement d'une droite (les réels). Et multiplier par i devient alors une rotation de pi/2. Du coup i²= 1*i*i. Donc tu prends le point 1 (c'est à dire de coordonées (0,1)) et tu lui fais faire deux rotations successives de pi/2, tu vas obtenir le point ...

par **Maths_Forever** » 06 Déc 2010, 19:11

Eh bah voilà, là c'est logique ! C'est explicable ! donc je réponds :
j'obtiens le point de coordonnées (0;-1). Par rotation, je suis tombé sur l'ordonnée -1
J'ai bon ?

Complexes : i² = -1 (pourquoi ?)

Complexes : i² = -1 (pourquoi ?)

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