Projeté orthogonal

[Nadraffe]

Bonjour, je n'arrive pas à faire cet exercice, car je ne sais pas où commencer.
Enoncé : On considère le cube ABCDEF GH, d'arête de longueur 1,
et on note I et J les milieux des arêtes [AB] et [CG]. On utilisera le repère (A;AB,AD,AE)

1. Montrer que le point M est le projeté du point I sur le plan (EF J)
2.Montrer que le volume du tétraèdre EF IJ est égal à 1/6

Merci d'avance

[vam]

Bonjour
qu'as-tu essayé ? qu'est ce qui te bloque ?
qui est M ?

[Nadraffe]

Ah oui pardon j'ai oublié M, M( 1/2 ; 2/5 ; 4/5). Tout

[vam]

ben il suffit de démontrer que est orthogonal au plan (EFJ)
et que M est dans ce plan...
allez....

[Nadraffe]

Les produits scalaires IM.EF et IM.FJ sont égaux à 0 donc IM est orthogonal au plan (EFJ)
et pour la suite ?

[vam]

je l'ai dit
tu dois montrer que M est dans ce plan
comment penses-tu faire cela ?

[Nadraffe]

Je ne sais pas...

[Nadraffe]

Quelqu'un svp ?

[vam]

ou bien tu peux te chercher une équation du plan EFJ et montrer que M appartient à ce plan

ou bien tu montres que le vecteur EM est combinaison linéaire de EF et EJ

rarement qu'une seule méthode ...

[hdci]

Comment fait-on pour montrer qu'un point appartient à un plan ?
Vous êtes en terminale je présume. Donc la question précédente trouve une réponse dans le cours.
Il faut faire un peu de recherche. Il y est question de base vectorielle par exemple. Ou d'équation cartésienne.

[Nadraffe]

J'ai éssayé : Soit IM un vecteur normal au plan (EFJ) donc comme IM = n(a;b;c) et que une équation cartésienne est de la forme ax+by+cz+d=0 alors <=> 0x + (2/5)y + (4/5)z + d = 0 <=> 2/5 * 2/5 + 4/5 * 4/5 + d = 0
<=> 4/25 + 16/25 + d = 0 <=> 4/5 + d = 0 <=> d = -4/5

Donc une équation cartésienne du plan (EFJ) est de la forme : (2/5)y + (4/5)z - 4/5 = 0

[hdci]

Vous êtes sûr de vouloir conserver toutes ces fractions ? Si au lieu d'utiliser le vecteur normal initial, vous aviez utilisé le vecteur multiplié par 5, plus de fraction...

Sinon, M est-il bien dans le plan ?

Mais au fait, s'agit-il bien de l'équation de (EFJ) ? Car c'est l'équation du plan dont Vect(IM) est un vecteur normal... Il manque des arguments ici.

[Nadraffe]

Bonjour, j'ai regardé la correction de cet exercice, il faut calculer le vecteur EM et faire une combinaison linéaire telle que : EM = aEF + bFJ.

[hdci]

Bonjour, j'ai regardé la correction de cet exercice, il faut calculer le vecteur EM et faire une combinaison linéaire telle que : EM = aEF + bFJ.

C'est une méthode possible. Mais la méthode que vous avez utilisé (par l'équation cartésienne) fonctionne également, sauf que : vous avez déterminé l'équation cartésienne d'un plan dont un vecteur normal est IM, et passant par M.
Mais cela ne dit pas que c'est le plan (EFJ). Pour terminer, il faudrait montrer que E, F et J appartiennent à ce plan.