Produits scalaires

[aloux]

Bonjour a tous!
Voila j'ai un exercice sur les produits scalaires mais je n'y arrive pas...

Voila l'énoncé : On considère un triangle ABC. On pose BC=a AC=b et AB=c
On note G le centre de gravité.

montrer que AG²= 1/9( 2b²+2c²-a²)

Merci de votre aide.

[Skullkid]

Bonjour, commence par essayer d'exprimer à partir de vecteurs dont tu connais la norme.

Fais aussi un dessin de la situation, ça t'aidera sûrement à y voir plus clair.

[aloux]

Quand j'exprime avec, et ça me donne, si je me suis pas trompé :
= +
= +
= + +
Apres je fait quoi? je remplace c, b et a par ce que j'ai trouver?

[Skullkid]

Le problème est que tu ne connais pas plus la norme de que celle de (utilise les balises [ tex] pour que ton texte soit écrit en maths).

Il te faut utiliser la définition du centre de gravité d'un triangle : c'est l'isobarycentre des 3 sommets. Ici, il est donc défini par . Utilise la relation de Chasles avec le point A pour en déduire une expression de en fonction de et .

[aloux]

Désolé mais la, je sais pas par où aller.... Faut-il que je parte de AG²=1/9(2b²+2c²-a²) ou par exemple :. = 1/2(AB²+AC²-BC²)
pour ensuite arriver a AG²=1/9(2b²+2c²-a²) en remplacant AB, AC et/ou BC ?

[Skullkid]

donc en "chaslant" avec A :
, c'est-à-dire .

D'où . A partir de là, la formule que tu as citée, te sera utile.

[aloux]

Ok mais quel est le lien entre et ?

[Skullkid]

Il faut que tu revoies ton cours je pense...c'est une identité remarquable, de même que (a+b)² = a² + b² + 2ab,

[aloux]

J'avais vu que c'était une identité remarquable. Mais quand je développe (AB+AC)² ca me donne AB²+AC²+2ABAC, mais ensuite? Est ce que je peux remplacer AG²=AB²+AC²+2ABAC dans 1/2(AC²+AB²-BC²)?

[Skullkid]

Ce que tu veux calculer c'est AG² pour montrer qu'il est égal à . Or on a vu que .

Comme tu connais l'expression de en fonction de a, b et c, le problème est réglé.

[aloux]

OK merci beaucoup et désolé si j'ai posé des questions un peu bête on va dire.