Produit scalaire dans des triangles

[Valentaline]

Bonjour, j'ai ce dm a faire:
Soit ABC un triangle quelconque, ADB et ACE deux triangles rectangles isocèles en A
construits à l’extérieur du triangle ABC.
1. Démontrer que AE.AB=AC.AD
2. En déduire que CD=BE
3. Démontrer que AB.AC=-AD.AE
4. En déduire que les droites (CD) et (BE) sont orthogonales.
Alors voilà je bloque dès la premiere question, je n'ai pas très bien compris le chapitre et la c'est encore pire, quelqu'un pourrait-il m'aider et m'aiguiller ? Merci

[Thomas Joseph]

Reviens à la définition du cours
le produit scalaire de AE et AB est égal à AE*AB*cos(angle EAB)
Tu écris de même AC.AD
Tu remarques ensuite qu'il y a des côtés égaux et que les deux angles apparaissant dans les deux produits scalaires sont égaux.
Tu peux alors conclure sur la question 1

[Valentaline]

Je ne sais pas combien vaut l'angle EAB, EAC vaut 90 mais EAB on ne sait pas ?

[Thomas Joseph]

EAB=90+alpha
CAD=alpha+90
les deux angles sont donc égaux.

[paquito]

AE.AB=AExABxcos(alpha+pi/2), or AB=AD
AC.AD=ACxAExcos(alpha+pi/2), or...

BE²=(Al Khasi)

Que peut on dire des angles BAC et DAE?

CD=CA+AC, EB=...

P.S; Si tu ne connais pas Al Kashi, c'est une généralisation de Pythagore qui s'énonce:
Dans tout triangle ABC, BC²=AB²+AC²-2xABXACxcos(BAC); ça se démontre en développant
BC²=(AC-AB)² (carré scalaire)

[Valentaline]

Mais je ne comprends pas comment prouver que les produits scalaires sont égaux, AB et AD sont égaux ainsi que AC et AE mais ca ne suffit pas ?

[Valentaline]

AE.AB=AExABxcos(alpha+pi/2), or AB=AD
AC.AD=ACxAExcos(alpha+pi/2), or...

BE²=(Al Khasi)

JE ne sais pas quoi faire :triste:

[paquito]

JE ne sais pas quoi faire :triste:

Compare AE et AC.

Errata: AC.AD=ACxADxcos(alpha+pi/2)

[Valentaline]

AE et AC sont égaux

[paquito]

AE et AC sont égaux

Tu as les expressions des produits scalaires:

AE.AB=AExABxcos (alpha+pi/2)
AC.AD=ACxADxcos(alpha+pi/2);

Si dans AC.AD, tu remplaces AC par AE et AD par AB, Qu'est qui arrive?

J'ai l'impression que tu n'as pas beaucoup de résultats de cours en tête; c'est un handicap.
N'hésite pas à demander un rappel.
J'espère que cette fois ci, la première question est réglée!

[Valentaline]

On obtient le meme procuit scalaire ? ce que je ne comprends pas c'est pourquoi il faut faire ça pour montrer qu'on a une égalité

[Thomas Joseph]

c'est une méthode générale pour prouver une égalité :
tu calcules séparément les deux membres et tu vérifies que tu obtiens le même résultat (cela dit, le travail tient en 3 lignes donc ce n'est pas un travail si important que cela)

[Valentaline]

D'accord merci beaucoup, je comprends deja mieux. Je vais essayer de faire la fin de l'éxercice

[Valentaline]

Pour démontrer que CD=BE, je dois partir de l'égalité de produit scalaire : AE.AB=AC.AD ?

[Thomas Joseph]

Pour démontrer que CD=BE, je dois partir de l'égalité de produit scalaire : AE.AB=AC.AD ?

Tout les bipoints suivants (sauf ceux de la dernière ligne) sont des vecteurs

||CD||²=||(AD-AC)||²=||AD||²+||AC||²-2AC.AD

Tu écris de la même manière BE²

Ensuite grâce aux égalités de côtés et à la question 1 tu peux conclure que CD²=BE²
donc que CD=BE

[paquito]

Ca va servir, mais pas directement;

dans le triangle ABE, BE²=AB²+AE²-2AE.AB
dans le triangle BAD, CD²=AD²+AC²-2AD.AC,

on sait Que AE.AB=AD.AC (question précédente) et on a toujours AB=AD et AE=AC donc

BE²=CD² d'où BE=CD; j'ai utilisé 2 fois le théorème de Al Kashi (tu vois, ce n'était pas évident, d'où mon aide.)

Pour la question suivante on a besoin de montrer (c'est simple) que DAE=pi-alpha pour arriver au résulltat; c'est pas évident non plus!

[Thomas Joseph]

Ca va servir, mais pas directement;

... je ne vois pas la différence entre ce que tu proposes et ce que j'ai proposé (si ce n'est que l'égalité supplémentaire justifie Al-Kashi, ce qui est toujours bon à connaître) ... mais bon

[paquito]

... je ne vois pas la différence entre ce que tu proposes et ce que j'ai proposé (si ce n'est que l'égalité supplémentaire justifie Al-Kashi, ce qui est toujours bon à connaître) ... mais bon

Je n'avais pas vu ce que tu avais écrit, désolé.

[Valentaline]

pour la 3. je ne peux pas démontrer? Enfin on sait que les longueurs sont égales donc on remplace juste non ?

[Thomas Joseph]

Je n'avais pas vu ce que tu avais écrit, désolé.

Désolé pour ma remarque également (actuellement surchargé de travail, je suis un peu tendu ...)