Calculer un produit scalaire dans un trapèze rectangle

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Bonjour,

J'ai un trapèze ABCD rectangle en A et en D. AB a pour longueur 4, DC a pour longueur 3, AD a pour longueur 6 et O est le milieu du segment [AD]. Je dois développer et simplifier (vecteur OA + vecteur AB) scalaire (vecteur OD + vecteur DC) puis en déduire que vecteur OB scalaire vecteur OC vaut 3. Normalement (vecteur OA + vecteur AB) scalaire (vecteur OD + vecteur DC) devrait valoir 3 mais je trouve 42 car :

(vecteur OA + vecteur AB) scalaire (vecteur OD + vecteur DC)
= (vecteur OA scalaire vecteur OD) + (vecteur OA scalaire vecteur DC) + (vecteur AB scalaire vecteur OD) + (vecteur AB scalaire vecteur DC)
= (1/2) [ (norme du vecteur OA)² + (norme du vecteur OD)² - (norme (vecteur OD - vecteur OA) )² ] + (1/2) [ (norme du vecteur OA)² + (norme du vecteur DC)² - (norme (vecteur DC - vecteur OA) )² ] + (1/2) [ (norme du vecteur AB)² + (norme du vecteur OD)² - (norme (vecteur OD - vecteur AB) )² ] + (1/2) [ (norme du vecteur AB)² + (norme du vecteur DC)² - (norme (vecteur DC - vecteur AB) )² ]
= [ (norme du vecteur OA)² + (norme du vecteur OD)² - (norme (vecteur OD - vecteur OA) )² ] + [ (norme du vecteur AB)² + (norme du vecteur OD)² - (norme (vecteur OD - vecteur AB) )² ]
= [ (OA)² + (OD)² - (OD - OA)² ] + [ (AB)² + (OD)² - (OD - AB)² ]
= [ (3)² + (3)² - (3-3)² ] + [ (4)² + (3)² - (3-4)² ]
= (9 + 9) + (16 + 9 - 1) = 18 + 24 = 42.

Pourriez-vous me dire comment cela se fait que je ne trouve pas le bon résultat ? Merci d'avance !

[Cliffe]

svp ...

[Ericovitchi]

tu te compliques drôlement la vie
(OA+AB)(OD+DC)=OA.OD+OA.DC+AB.OD+AB.DC
OA et OD sont égaux et opposés donc OA.OD=-9
OA.DC=0 (vecteurs perpendiculaires)
AB.OD=0 (vecteurs perpendiculaires)
AB.DC= 12 (vecteurs colinéaires)
et donc au final ça fait 12-9 = 3

[Inscription]

svp ...

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tu te compliques drôlement la vie
(OA+AB)(OD+DC)=OA.OD+OA.DC+AB.OD+AB.DC
OA et OB sont égaux et opposés donc OA.OD=-9
OA.DC=0 (vecteurs perpendiculaires)
AB.OD=0 (vecteurs perpendiculaires)
AB.DC= 12 (vecteurs colinéaires)
et donc au final ça fait 12-9 = 3

OA et OB ne sont pas égaux, d'après le théorème de Pythagore qui peut être utilisé dans le triangle OAB, OB = 5. Cliquez ici pour voir le schéma correspondant à l'exercice. Je pense que vous avez fait une faute de frappe mais j'ai bien compris votre explication. Merci !

[Cliffe]

Il faut aller au plus simple.

Si on prend O comme origine :

[CENTER][/CENTER]

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Il faut aller au plus simple.

Si on prend O comme origine :

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Je n'ai pas utilisé les coordonnées des vecteurs car il n'est pas précisé que nous sommes dans un repère. J'ai utilisé la deuxième formule la plus basique sans faire attention aux cas particuliers.

[Ericovitchi]

(OA+AB)(OD+DC)=OA.OD+OA.DC+AB.OD+AB.DC=-9+12=3
ça n'est pas bien compliqué non plus.

[Inscription]

(OA+AB)(OD+DC)=OA.OD+OA.DC+AB.OD+AB.DC=-9+12=3
ça n'est pas bien compliqué non plus.

Avec les cas particuliers, c'est rapide alors qu'avec la formule , c'est plus long et je ne trouve pas le bon résultat.

[Cliffe]

C'est normal.
Quand tu calcul la norme de la différence de deux vecteurs, ce n'est pas égale à la différence des normes.
Ensuite, tu met des parenthèses partout et c'est illisible :

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[Inscription]

C'est normal.
Quand tu calcul la norme de la différence de deux vecteurs, ce n'est pas égale à la différence des normes.
Ensuite, tu met des parenthèses partout et c'est illisible :

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Pour les nombres élevés au carré, je trouve que c'est plus lisible avec des parenthèses, notamment sur le papier. Pour les longueurs comme « AB », je suis d'accord et j'essaierai de corriger mon habitude.