Problème d'optimisation

[Marky]

Salut à tous,

J'ai un problème d'optimisation que je n'arrive pas à résoudre...
Le niveau du problème n'est peut-être pas très relevé, mais j'ai du mal et je ne trouve pas la solution. Je n'arrive pas à faire une fonction avec ce problème, un mauvais choix de l'inconnue peut-être... En tout cas je n'arrive à rien.

Voici le problème en question :
http://img32.imageshack.us/img32/9312/optimisation.jpg

Une piste ?

[girdav]

Bonjour.
Les seules choses que tu peux faire varier sont les dimensions des rectangles. La construction de boîte laisse suggérer qu'ils ont les mêmes dimensions.
Après, il faut exprimer le volume de la boîte en fonction de celles-ci, donc regarde quel côté est la longueur, la largeur et la profondeur.

[Marky]

Jusque là j'ai déjà essayé.
D'après le pliage , j'ai
la longueur = mesure horizontale du plus grand rectangle
la largeur = mesure horizontale du rectangle moyen
la hauteur = mesure verticale du plus grand rectangle (sans compter la mesure verticale du plus petit rectangle)

(Je dis verticale/horizontale en prenant le modèle plat, pour faciliter les choses)

[girdav]

Jusque là j'ai déjà essayé.
D'après le pliage , j'ai
la longueur = mesure horizontale du plus grand rectangle
la largeur = mesure horizontale du rectangle moyen
la hauteur = mesure verticale du plus grand rectangle (sans compter la mesure verticale du plus petit rectangle)

(Je dis verticale/horizontale en prenant le modèle plat, pour faciliter les choses)

Si on note la largeur (sens horizontal) des rectangles et la longueur on doit pouvoir, grâce aux dimensions de la feuille, pouvoir déterminer en fonction de et de les dimensions que tu indiques.

[Marky]

Je peux par exemple donc écrire V(x)= 2l.l.h ?

Mais comment incorporer h dans ma fonction ?
De plus je n'utilise pas mes données, un carton de 23cmx34cm...

:mur:

[girdav]

En fait il y a une dimension qui va faire , l'autre et enfin la dernière . Le volume de la boîte est donc et il reste à déterminer quand est-ce que ce volume est maximal (avec et qui ne dépassent pas).

[Marky]

Super, effectivement et je vois à quoi ça correspond.
Par contre ensuite je dois calculer la dérivée de V(x,y)... Je ne me suis jamais retrouvé que devant des dérivées de V (x), j'ai toujours gardé 1 seule inconnue jusqu'à présent.
Mais si je dois calculer la dérivée de V(x,y) , je peux transformer l'expression :
V (x,y) = (17x-x^2).(23-2y)
V'(x,y) = (17-2x).(23-2y)+(17x-x^2).(-2) ?

Je n'ai jamais rencontré quelque chose comme ça, donc j'ai des doutes...

Edit : j'ai une autre idée en fait, je vais tenter.
Edit 2 : non en fait, ça donne rien...

[Ericovitchi]

non, là tu dérives les deux variables en même temps.
Il faut d'abord dériver en x en considérant que y est constant, ça te donne la dérivée partielle en x et puis après tu calculeras et si tu cherche un optimum de ta fonction f(x,y) alors essayes de trouver une solution qui annule les deux dérivées.

(car )

[Marky]

"dériver en x en considérant que y est constant, ça te donne la dérivée partielle"

Woh, j'ai jamais entendu parlé de tout ça en classe =/ Donc quoi j'essaye par exemple avec y=0 puis ensuite avec x=0 ?

[Ericovitchi]

Oui il y a quelque chose qui ne va pas.
En fait ton x et y ne sont pas indépendants (sinon le volume max serait avec y=0 d'ailleurs). Il faut que la hauteur des cotés (y) soit égale à la hauteur des bouts (x) (car sinon la boite ne se ferme pas).
Donc x=y et ton volume est V =x(23-2x)(17-x)

Et tu es ramené à trouver quand est-ce qu'un polynôme du 3 ième degré a sa dérivée qui s'annule. Facile.

[Marky]

Réponse : x = 4,5 !
Super, un grand merci à tout le monde. (Enfin, j'espère que la réponse est correcte, mais j'en suis presque persuadé)

Effectivement j'ai pas du tout penser à égaler les bords supérieurs (y) à mon x... et pourtant...

[girdav]

La réponse est correcte en arrondissant: Xcas trouve .

[Marky]

Oui en arrondissant.
Par contre... Un problème au niveau de V(x), je viens de constater en écrivant tout mon problème au propre.

On m'a donc proposé :
V(x)=x.(23-2x).(17-X)

X : OK, longueur horizontale du rectangle moyen. (largeur)
(17-X) : OK, longueur horizontale du + grand rectangle. (longueur)
23-2X : faux, il s'agit en réalité de 23-x.

Car X = la largeur, et la largeur de ma boite doit être égale à la hauteur des deux petits rectangles (pour que la boite se ferme, comme dit précédemment).

Correct ?

[Marky]

Dans ce cas, la réponse serait x=6,44.

[Ericovitchi]

non je ne vois pas pourquoi 23-x, pour moi il faut bien enlever à 23 un carré de chaque coté donc 23-2x

[Marky]

Soucis avec le forum on dirait, je reposte ma réponse :

on doit effectivement retiré un carré (enfin, un rectangle) de chaque côté, soit 2, mais la valeur de 1 de ces rectangles est de x/2, pas x.

On a donné la valeur x à la largeur du rectangle moyen, soit la largeur de la boîte de carton qui nous intéresse. Cette largeur correspond aux deux bords réunis (2.x/2), qui ont la même dimension que la largeur (x) pour que la boîte "se ferme".

Donc V(x)=x.(23-x).(17-x)

[Marky]

http://img217.imageshack.us/img217/9312/optimisation.jpg

[Ericovitchi]

Bon je ne comprend plus rien. Moi je me basais sur la définition de x du post 4 de girdav et je trouvais comme lui. je ne vois pas pourquoi tu prends des rectangles (x/2, x), l'énnonçé ne disait pas que les rectangles étaient deux fois plus long que large, girdav avait pris lui des carrés x,x (puisque son y = x)
mais si tu es sûr de toi, c'est le principal.

[Marky]

Oui je le suis, merci beaucoup en tout cas :)