Petite question

[Hannaut]

Bonjour,

Je cherche une méthode pour la question suivante :

Quel est le dernier chiffre différent de 0 du produit des cent premiers entiers naturels non nuls ?

Je sais déjà que ce produit se termine par au moins 9 chiffres nuls.

[GaBuZoMeu]

Il y en a nettement plus que 9. Recompte mieux. N'oublie pas que par exemple 4x5=10, 12x15=180, 24x25=600 etc.

[Hannaut]

C'est pour cela que j'ai dit "au moins" 9 chiffres nuls.
4 x 5 = 20 chez moi lol. Ta remarque permet effectivement de se rendre compte qu'on peut augmenter facilement le nombre de zéro. Je cherche si des choses vont se débloquer.

[GaBuZoMeu]

Oui 4x5=20,
Tu postes dans le forum "Lycée". Est-ce un exercice de lycée que tu as à faire, ou bien te poses-tu la question dans un autre cadre ?

[Hannaut]

Non c'est une question que j'ai trouvé dans un olympiade (kangourou junior). Ça me permet de passer le temps. La question reviendrait à chercher le dernier chiffre non nul de 100 ! Mais il faut utiliser ici des compétence de 5eme.
Dans 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10, on peut déjà enlever le 1 et le 10. Puis avec ta remarque, 4 x 5 = 20. Mais pourquoi pas 2 x 5 = 10 aussi ?

[GaBuZoMeu]

Pourquoi pas. Je prenais juste des multiples de 4 pour ne pas louper les centaines quand elles arrivent, comme 24x25.
Combien de 0 finaux, alors ?

[Hannaut]

Ah oui pas bête tu as raison, alors j'en compte 9 + 11 = 20.
Je dois chercher le dernier chiffre non nul à présent.

[GaBuZoMeu]

J'en compte plus que ça.
Indice : s'intéresser à la puissance de 5 dans 100! (des facteurs 2, il y en aura toujours suffisamment pour faire des 10 avec les 5).

[Hannaut]

Je suis perdu lol.
Pour l'histoire des 5, on peut les regrouper pour donner 5^9. Sur chaque "tranche" (de 1 à 10, de 11 à 20 etc.), je peux en sortir qu'un seul.

[Hannaut]

Non 5^11 (j'ai pas pensé à 5x5 et 3x5x5).

[GaBuZoMeu]

De 1 à 100 (compris), il y a vingt multiples de 5. Plus quatre multiples de 25, où 5 est en facteur une deuxième fois. Donc, dans 100!, 5 est à la puissance 24.
Comme il y a pléthore de facteurs 2 à marier avec les 5, on a donc exactement vingt-quatre chiffres 0 à la fin de 100!

[Hannaut]

D'accord, je résume:
"De 1 à 100 (compris), il y a vingt multiples de 5" : en effet, 5x1, 5x2, etc.
"Plus quatre multiples de 25, où 5 est en facteur une deuxième fois." : en effet 25 x 1 à 25 x 4.
"Donc, dans 100!, 5 est à la puissance 24." : en effet.
Ta dernière phrase j'ai du mal à comprendre.

[GaBuZoMeu]

10=2x5, comme tu me l'as fait remarquer.

[Hannaut]

Ahhhhh ! Merci, je viens tout juste de réalisé que les puissances de 5 se termine par 5 et du coup vu le nombre de facteurs 2 ("Comme il y a pléthore de facteurs 2 à marier avec les 5") qui sont en nombre bien supérieur que les 5, il y en suffisamment assez pour générer 24 zéros.
Et je suppose qu'il y a un lien pour trouver le dernier chiffre non nul.