Limites de suites

[Sulaheia]

Bonjour,

Je ne suis pas sûre de mon raisonnement pour cet exercice :

On considère les suites et telles que :



Montrer que et sont convergentes et déterminer leur limite respective.

Du coup j'ai juste fait une résolution d'équation à 2 inconnues pour trouver :



Pour moi ça marche parce qu'on peut additionner les limites "bêtement", mais :
- est-ce que j'ai bien le droit de faire ça ?
- est-ce que ça suffit pour justifier que les suites sont convergentes ? D'après la question je me demande s'il faut montrer ça avant de faire le calcul (mais si c'est le cas je ne sais pas comment m'y prendre).

Merci d'avoir lu, et bon week-end !

[zygomatique]

salut

je pense qu'il faille revenir à la définition

soit e > 0

il existe un entier M tel que pour tout n > M : 5 - e < u_n + v_n < 5 + e

soit h > 0

il existe un entier N tel que pour tout n > M : 1 - h < u_n - v_n < 1 + h


alors pour tout n > Max (M, N) : ...

[Pseuda]

Pour moi, il n'y a pas besoin de revenir à la définition d'une limite, on applique simplement les théorèmes concernant les limites de suites, sur la limite d'une somme, multiplication par un réel, etc..., et en résolvant par combinaisons linéaires.

[capitaine nuggets]

Salut !

Oui, la limite est "linéaire" donc la limite d'une somme est égale à la somme des limites. Attention toutefois aux hypothèses : si et sont convergentes.
Par exemple, pour et , on a .

Dans ton cas, tu as montré que si et sont convergentes alors et .

Soient et . Quelle est la nature de la suite ? Pourquoi ? Qu'en déduire sur la nature de ? Quelle est alors sa limite ?

[Sulaheia]

Merci beaucoup pour vos réponses rapides !

@capitaine nuggets : Effectivement, ça semble pas mal de montrer que les suites convergent d'abord. Merci pour l'exemple, je voyais pas à quoi ça pouvait bien servir .

Du coup, en suivant ton raisonnement, j'imagine que je peux dire : et sont convergentes, donc leur somme et leur différence aussi. Du coup et convergent, et tout le monde est content.
C'est suffisant ? (et après on fait le calcul)