Les complexes

[matthymath]

bonjour bonsoir a tous!
j'ai besoin d'aide pour un exercice portant sur les complexes:

"on considère les nombres complexes z(n ) définis pour tout ninférieur ou égal a 0 par la donnée de z0 où z0 est différent de 0 et de 1, et la relation de récurrence: z(n+1)= 1-(1/zn)"

1)la première question nous demande de calculer les nombres de z1 a z6 en supposant que z0= 2
ce qui nous donne: z1=1/2, z2=-1, z3=2, z4=1/2 , z5=-1, z6=2

2)ensuite il faut determiner la forme algébrique de ces meme nombres (les différents z) en partant de z0=i
on a alors: z1= 1+i, z2=1/2+1/2i, z3=-i, z4=z1, z5=z2, z6=z3

3)et c' est la 3eme question qui pose problème:
"on revient au cas général où z0 est un complexe donné. Que peut on conjecturer pour les valeurs prises par z(3n) selon les valeurs de n (entier naturel)? prouver cette conjecture.

voila, c est la que j'ai besoin de votre aide: je vois bien le lien entre les différents z (voir réponse question 2) mais je n'arrive pas conjecturer quelque chose...

merci par avance de votre aide!

[Lostounet]

Salut,

Il y a un petit souci dans ton calcul de z(3) quand z(0)=i.
Si z(2)=(1+i)/2 alors
z(3)= 1-2/(1+i) = (1+i-2)/(i+1) = (-1+i)/(i+1)=(-1+i)(i-1)/[i^2-1]
= [-i+1-1-i]/(-2) = -2i/(-2)=i

Conjecturer devient plus facile..!

Pour prouver ta conjecture, tu peux noter z(n)=a+ib et regarder que vaut z(n+3) (tenter une démonstration par récurrence). Par contre bien le rédiger n'est pas très simple au lycée (à voir)...(les calculs sont faciles)

[capitaine nuggets]

Salut !

Pour ta question 2, je trouve .

Avec les questions 1 et 2, tu peux conjecturer que pour tout , , et . Autrement dit, tu peux conjecturer que la suite est -périodique, c'est-à-dire que pour tout , .

P.S. : D'ailleurs, si il y a quelqu'un qui pourrait me dire s'il y a un lien avec la géométrie projective et si la périodicité était prévisible (et comment on a construit l'exo), ça m'intéresserait beaucoup. Parce que je sais qu'il y a un lien entre composition d'homographies et matrices , en écrivant et en posant , j'obtiens et je ne crois pas que cela soit une pure coïncidence

[Ben314]

Salut,

P.S. : D'ailleurs, si il y a quelqu'un qui pourrait me dire s'il y a un lien avec la géométrie projective et si la périodicité était prévisible (et comment on a construit l'exo), ça m'intéresserait beaucoup. Parce que je sais qu'il y a un lien entre composition d'homographies et matrices , en écrivant et en posant , j'obtiens et je ne crois pas que cela soit une pure coïncidence

Oui, c'est plus que fortement lié à la géométrie projective.
Ici, si tu considère , c'est à dire (définition) l'ensemble des droites vectorielle de , alors le groupe des matrices inversibles agit naturellement sur (l'image d'une droite vectorielle par une application linéaire bijective, c'est une droite vectorielle).
Maintenant, si tu considère une des injection naturelles de dans , par exemple celle qui au complexe associe la droite vectorielle dirigée par alors :
- Partant de tu lui associe via l'injection la droite vectorielle de dirigée par .
- Tu regarde l'image de cette droite vectorielle par l'application linéaire de matrice : ça te donne la droite vectorielle dirigée par .
- Modulo que , la droite vectorielle dirigée par , c'est la même que celle dirigée par qui est l'image par l'injection de dans du complexe .

Bref, tout ça te dit que les homographies dans , c'est exactement la même chose que les applications linéaires bijectives de dans modulo deux détail :
- L'injection dont je parle ci dessus n'est pas bijective, mais "presque" : la droite vectorielle dirigée par (1,0) n'est l'image d'aucun complexe donc si on veut que ce soit bijectif, il faut rajouter un élément à qu'on note en général de façon à avoir une bijection de sur (souvent noté )
- Concernant les applications linéaires de dans qu'on manipule, vu qu'on ne s’intéresse pas à leur action sur les vecteurs, mais sur les droites vectorielles, on n'est pas à multiplication par un scalaire prés (l'image d'une droite D par l'application linéaire L est la même que celle par l'application linéaire lambda.L) ce qui fait que le "vrai" groupe qui nous intéresse, c'est pas mais son quotient par l'ensemble des matrice de la forme (groupe quotient appelé avec un P comme projectif).
En fait, ça signifie que les calculs matriciels, tu les fait comme d'habitude, sauf que tu n'est pas à un facteur multiplicatif prés et que par exemple, ou , c'est la même chose que (vu que ces trois endomorphismes envoient toute droite vectorielle sur elle même).

[capitaine nuggets]

Merci pour ces précisions Ben !