Salut,
capitaine nuggets a écrit:P.S. : D'ailleurs, si il y a quelqu'un qui pourrait me dire s'il y a un lien avec la géométrie projective et si la périodicité était prévisible (et comment on a construit l'exo), ça m'intéresserait beaucoup. Parce que je sais qu'il y a un lien entre composition d'homographies et matrices , en écrivant et en posant , j'obtiens et je ne crois pas que cela soit une pure coïncidence
Oui, c'est plus que fortement lié à la géométrie projective.
Ici, si tu considère
, c'est à dire (définition) l'ensemble des droites vectorielle de
, alors le groupe
des matrices inversibles agit naturellement sur
(l'image d'une droite vectorielle par une application linéaire bijective, c'est une droite vectorielle).
Maintenant, si tu considère une des injection naturelles de
dans
, par exemple celle qui au complexe
associe la droite vectorielle dirigée par
alors :
- Partant de
tu lui associe via l'injection la droite vectorielle de
dirigée par
.
- Tu regarde l'image de cette droite vectorielle par l'application linéaire de matrice
: ça te donne la droite vectorielle dirigée par
.
- Modulo que
, la droite vectorielle dirigée par
, c'est la même que celle dirigée par
qui est l'image par l'injection de
dans
du complexe
.
Bref, tout ça te dit que les homographies dans
, c'est exactement la même chose que les applications linéaires bijectives de
dans
modulo deux détail :
- L'injection dont je parle ci dessus n'est pas bijective, mais "presque" : la droite vectorielle dirigée par (1,0) n'est l'image d'aucun complexe donc si on veut que ce soit bijectif, il faut rajouter un élément à
qu'on note en général
de façon à avoir une bijection de
sur
(souvent noté
)
- Concernant les applications linéaires de
dans
qu'on manipule, vu qu'on ne s’intéresse pas à leur action sur les vecteurs, mais sur les droites vectorielles, on n'est pas à multiplication par un scalaire prés (l'image d'une droite D par l'application linéaire L est la même que celle par l'application linéaire lambda.L) ce qui fait que le "vrai" groupe qui nous intéresse, c'est pas
mais son quotient par l'ensemble des matrice de la forme
(groupe quotient appelé
avec un P comme projectif).
En fait, ça signifie que les calculs matriciels, tu les fait comme d'habitude, sauf que tu n'est pas à un facteur multiplicatif prés et que par exemple,
ou
, c'est la même chose que
(vu que ces trois endomorphismes envoient toute droite vectorielle sur elle même).