Géométrie analytique

par **C.l** » 18 Juin 2013, 16:00

Bonjour,

je ne comprend pas ce que c'est une combinaison linéaire et une combinaison de base?

quelqu'un pourrait m'éclairer s'il vous plait?? Merci d'avance!

par **ampholyte** » 18 Juin 2013, 16:11

Bonjour,

Combinaison linéaire : soit

,

et

on dit que :

est une combinaison linéaire de

et

.

Je suppose qu'une combinaison de base (je n'ai jamais rencontré se terme) se définit uniquement à partir des éléments d'une base.

Supposons la base (O, i, j) alors (en reprenant l'exemple précédent) on a :

La différence serait donc dans une base B1(O, e1, e2, e3) :

est une combinaison linéaire de

et

définit dans B1 tel que

avec a et b réels.

Tout vecteur

définit dans la base B1 est une combinaison de base dans B1 par définition du vecteur.

PS : Concernant la combinaison de base peux-tu donner un peu plus de détail ? Quel contexte ? Où as-tu entendu ce terme ?

par **C.l** » 18 Juin 2013, 16:17

ampholyte a écrit:Bonjour,

Combinaison linéaire : soit , et on dit que :

est une combinaison linéaire de et .

Je suppose qu'une combinaison de base (je n'ai jamais rencontré se terme) se définit uniquement à partir des éléments d'une base.

Supposons la base (O, i, j) alors (en reprenant l'exemple précédent) on a :

La différence serait donc dans une base B1(O, e1, e2, e3) :

est une combinaison linéaire de et définit dans B1 tel que avec a et b réels.

Tout vecteur définit dans la base B1 est une combinaison de base dans B1 par définition du vecteur.

PS : Concernant la combinaison de base peux-tu donner un peu plus de détail ? Quel contexte ? Où as-tu entendu ce terme ?

Merci! Je me suis trompée on dit une combinaison linéaire et seulement une base. Mais voici la définition que je n'ai pas compris:

Définition : Une base du plan vectoriel est un couple de vecteurs linéairement indépendants.

par **ampholyte** » 18 Juin 2013, 16:29

Ha, je comprends mieux la question =).

Je suppose que ce que tu ne comprends pas est : "un couple de vecteurs linéairement indépendants".

Au niveau du plan, comprends que deux vecteurs sont linéairement indépendants s'ils ne sont pas coliénaires.

Autrement dit si la seule combinaison linéaire de ses deux vecteurs pour obtenir le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont nuls.

Exemple 1 :

=> le couple (u, v) n'est pas linéairement indépendant. Donc (O, u, v) n'est pas une base.

Exemple 2 :

.

(u, v) est une couple de vecteur linéairement indépendant (coefficients nuls) donc (0, u, v) forme une base du plan vectoriel.

Est-ce plus clair ?

par **C.l** » 18 Juin 2013, 16:36

ampholyte a écrit:Ha, je comprends mieux la question =).

Je suppose que ce que tu ne comprends pas est : "un couple de vecteurs linéairement indépendants".

Au niveau du plan, comprends que deux vecteurs sont linéairement indépendants s'ils ne sont pas coliénaires.

Autrement dit si la seule combinaison linéaire de ses deux vecteurs pour obtenir le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont nuls.

Exemple 1 :

=> le couple (u, v) n'est pas linéairement indépendant. Donc (O, u, v) n'est pas une base.

Exemple 2 :

.

(u, v) est une couple de vecteur linéairement indépendant (coefficients nuls) donc (0, u, v) forme une base du plan vectoriel.

Est-ce plus clair ?

Aurais-tu un autre exemple? tu multiples les vecteurs entre eux, les x et puis les y et ensuite tu soustrais?

par **ampholyte** » 18 Juin 2013, 16:39

En fait il te suffit simplement de montrer que deux vecteurs ne sont pas colinéaires dans le plan.

Si je reprends les exemples précédents :

Exemple 1 :

donc ces deux vecteurs ne sont pas linéairement indépendants donc (0, u, v) ne forme pas une base.

Exemple 2 :

ne peut pas s'écrire sous la forme de

avec k un réel, donc ces deux vecteurs sont linéairement indépendants.
(0, u, v) forme une base du plan vectoriel.

(Les exemples précédents illustraient le second point sur la définition à partir de la combinaison linéaire).

par **C.l** » 18 Juin 2013, 16:41

ampholyte a écrit:En fait il te suffit simplement de montrer que deux vecteurs ne sont pas colinéaires dans le plan.

(Les exemples précédents illustraient le second point sur la définition à partir de la combinaison linéaire).

Si je reprends les exemples précédents :

Exemple 1 :

donc ces deux vecteurs ne sont pas linéairement indépendants donc (0, u, v) ne forme pas une base.

Exemple 2 :
ne peut pas s'écrire sous la forme de avec k un réel, donc ces deux vecteurs sont linéairement indépendants.
(0, u, v) forme une base du plan vectoriel.

Merci beaucoup! Et colinéaire signifie aussi paralléle?

par **ampholyte** » 18 Juin 2013, 16:44

Sur un schéma colinéaire signifie "parallèle" mais seulement sur la visualisation des vecteurs.

La définition à retenir est :

et

sont colinéaires si et seulement si il existe k réel tel que

.

par **C.l** » 18 Juin 2013, 16:46

ampholyte a écrit:Sur un schéma colinéaire signifie "parallèle" mais seulement sur la visualisation des vecteurs.

La définition à retenir est :
et sont colinéaires si et seulement si il existe k réel tel que .

Merci beaucouppp !! :++:

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