Fonctions equa diff..

[Yohan_]

Salut je deplace le sujet je me suis trompé, pourriez vous m'expliquer cela :


Soit la fonction g (x) définie par :
g (x) = C_1 x^4 pour x ;) 0
g (x) = C_2 x^4 pour x ;) 0 C_1 , C_2 étant deux constantes arbitraires.

1. Montrer que la fonction g (x) est dérivable sur R.
2. En déduire la solution générale sur R de l’équation différentielle : x.y’ – 4y = 0
3. Donner une solution particulière y_0 (x) à l’équation : xy’ – 4y = -3x qui soit un polynome du 1er degré



1. Je ne vois pas ce qu'ils entendent par "dérivable sur R" deja(je ne suis pas fort en maths du tout :doh: )


salutations et remerciements.

[fonfon]

Salut,

g est derivable sur R ssi g est derivable en tout point de R

or ici
pour
pour

or avec k cste est derivable sur R donc ...

[Yohan_]

Donc g(x) n'est pas dérivable sur R ? :hein:

[fonfon]

Regardes bien ce que l'on te demande dans la 1ere question montrer que g est derivable sur R

A la limite tu peux etudier la derivabilité au point 0 en utilisant le taux de variation

[Yohan_]

Ben en 0 ca fera toujours 0 , non je sais pas je comprend pa !! dsl !! :stupid_in

[Zebulon]

Donc g(x) n'est pas dérivable sur R ? :hein:

Bonjour,
et ATTENTION! On dit qu'une fonction est dérivable en un point ou ensemble de points. C'est donc g qui est dérivable, et pas g(x).

[Yohan_]

Pardon il faut montrer que g(x) est dérivable sur R, donc je ne vois pas comment montrer ca !!

[Zebulon]

Non! Il faut montrer que g est dérivable sur . g est dérivable sur équivaut à g est dérivable en tout point de .

g est clairement dérivable sur ]-,0[ et sur ]0,+[. Il reste à s'assurer qu'elle est dérivable en 0.

Etude en 0:on cherche .
Et en :...???

[Yohan_]

En 0 - c'est exactement pareil qu'en 0+ comme on a X^3 non ?

[Zebulon]

C'est pareil, oui. On obtient:
.

[Zebulon]

Donc la fonction g est-elle dérivable en 0?

[Yohan_]

Oui, tu insistes sur g mais dans l'enoncé ils mettent bien g(x) ??!

[Zebulon]

Cer n'est qu'un détail de rigueur. On dit qu'une fonction est dérivable en un point et pas g(ce point) est dérivable.
Mais as-tu compris le reste? Je veux dire, pourquoi c'est dérivable?

[Yohan_]

Ok c'est plus clair merci. Je n'aurais pas pensé a etudier les limites mais je vois mieux.

Un coup de pouce pour la 2 si possible ? :we:

[Zebulon]

Pour la 2... Tout d'abord je précise que y désigne une fonction de x.
Ensuite, sur ]0,+[,

avec
donc:
avec . De plus, la fonction nulle est une solution donc l'ensemble des solutions de l'équation homogène définies sur ]0,+[ est l'ensemble des fonctions , avec K appartenant à .

Comment fais-tu sur ]-,0[?

[Yohan_]

Ben c'est un carré de degré 4 donc entre - l'infini et 0 ca nous ramene a du positif donc c'est dérivable ? Je dis peut etre des betises ... :marteau:

[Zebulon]

Sur ]-,0[,

avec
On trouve les mêmes solutions que celles sur ]0,+[. Donc en effet la puissance 4 ramène au truc positif mais... la conclusion n'est pas la bonne.

Remarque que toutes les solutions sont automatiquement dérivables puisqu'elles vérifient une équation différentielle, c'est-à-dire une équation faisant intervenir sa dérivée.

Pour la 3, soit P(x) un polynôme du premier degré, solution particulière de l'équation différentielle avec second membre, P(x)=ax+b.
P est solution si et seulement si xP'(x)-4P(x)=-3x

On identifie les coefficients des deux polynômes; cela nous donne a=1 et b=0. Donc P défini sur par P(x)=-3x est une solution particulière de l'équation avec second membre.

[Yohan_]

Euh je n'ai pas trés bien compris pour la 3. Comment arrive tu as ces equations?

[Zebulon]

On a:
P(x)=ax+b car P est polynôme du premier degré. Donc P'(x)=a donc xP'(x)-4P(x)=ax-4(ax+b)=-3ax-4b et c'est égal à -3x car P est une solution particulière de xy'-4y=-3x.

[Yohan_]

Ok très bien c'est compris !

un grand merci sincerement.