Fonction dérivable et dérivée non continue

[Okinawa]

bonjour !

j'aurais besoin de votre aide pour un exo svp. donc :

f(x) = x² sin(1/x)

x différent de 0
f(0)=0

1) montrer que f est continue en 0
2) montrer que f est derivable en 0



mon probleme c'est que j'ai appris qu'une fonction irationnelle est définie continue sur R+ et derivable sur (R+)*

mais cette fonction elle est irationnelle non ??
paske dans ce cas, ya un ''bug" puisque l'exo dit qu elle est continue en 0 donc ça OK mais qu'elle est dérivable en 0. or la regle dit que c'est (R+)* ... jcomprends pas

merci de votre aide

[guadalix]

salut

on pose u=1/x...donc on trouve sin(u)/u^2 , limite qd u tend vers +infini de f, ben sa fait 0 donc f est continu en 0 et f(0)=0...


Pour la dérivabilité ecrit le taux d'accroissement en 0

[Okinawa]

ok merci
mais pourquoi on dit que x différent de 0 et juste apres on parle de f(0) ?? paske dans ce cas x=0 nn ?

[Okinawa]

comment étudie on la continuité d'une fonction ? quand utilise t on les limites ?

si vous avez un cours de rappels ou autres ça pourrait m'aider.

merci

[Miya]

Salut,

je ne sais pas ce qu'est une fonction irrationnelle (drôle de chose). Peut-être une fonction qui à tout nombre associe un irrationnel? En ce cas elle a peu de chances d'être continue. En fait, je vois difficilement une définition de fonction irrationnelle qui pourrait rendre les assertions "continue sur et dérivable sur " vraies... d'ailleurs, pour ton objection, cette assertion n'interdit pas à f d'être dérivable en 0, elle dit juste qu'elle est forcément dérivable ailleurs.

Lors de la définition de ta fonction, on sépare le cas où x est différent de 0 (et alors f(x) = x²sin(1/x)), et le cas où x = 0, puisqu'il y aurait un problème de définition si on utilisais la même formule (en effet, sin(0/0) n'est pas très bien), donc on pose f(0) = 0.

[guadalix]

Tu etudie la limite en 0, si la limite est finie, tu peux faire ce qu'on appelle un prolongement par continuité...