pour les futures taupes qui s'ennuient, je soumets ce long (après prévisualisation...) exercice guidé, type DS. Les notions abordés sont niveau bac+2 mais j'ai écrit l'énoncé de sorte qu'il soit parfaitement faisable par les lycéens doués que vous êtes :lol3:
I]Début de construction :
On considère la fonctiontelle que
est la distance entre x et
, autrement dit la distance entre x et l'entier qui lui est le plus proche.
1) Montrer que f est bornée et 1-périodique
2) Montrer que f est 1-lipschitzienne
3) tracer le graphe de f.
II]Etude d'une série de fonction.
Soit n un entier naturel et x un réel quelconques, on pose
1) Justifier que pour tout n, l'applicationest 1-lipschitzienne et
-périodique
2) Justifier que pour tous nombres entier n et réel x,
3) En déduire que pour tout x, la suiteest convergente.
III]Etude de la continuité de la limite
Posonset introduisons le reste
1) Montrer que la convergence deentraine que pour tout x,
2) Si g est une fonction bornée, on pose.
- Justifier en utilisant II]2) qu'il existe un entier N tel quesoit convergente
- En déduire quepuis que la suite de fonction
converge uniformément vers la fonction nulle , c'est à dire qu'à
fixé, il existe un entier M tel que, pour tout n entier et x réel,
-0|\le \epsilon))
3) Justifier en s'aidant de ce qui précède que la suite de fonctionconverge uniformément vers sa limite
)
4) Montrer que la convergence uniforme deentrainent la continuité de
IV] Dérivabilité de la limite
Soient a un réel,,
,
et
=\frac{S(a+\delta_{n})-S(a)}{\delta_{n}})
1)Justifier queet
2) On noteet
pour
.
- Montrer que siou si
alors
- De même, montrer que siou si
alors
3) Par un raisonnement identique, montrer que pour,
ou
valent de même plus ou moins 1
4) En déduire que S n'est dérivable en aucun réel.
J'avais prévu d'écrire des indications, mais après voir tapé tout ça, j'ai un peu la flemme, donc ce sera pour plus tard, s'il y a des courageux qui s'attaquent à l'exercice et s'y retrouvent bloqués.
Bon courage
:happy3: