Fonction / dérivabilité

[Anonyme]

bonjour!

je bloque sur un exercice de mon DM de maths, en TS, à la première question (au moins la première! lol):

"Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0;1] par
f(x) = x - 2RacinedeX +1
Cette fonction est dérivable sur ]0;1] ; et sa dérivée f' vérifie f'(1)=0.

Il faut montrer que racine de x + racine de y = 1
j'ai essayé avec x² + y ² mais ça ne donne rien

merci d'avance de votre aide

[Chimerade]

bonjour!

je bloque sur un exercice de mon DM de maths, en TS, à la première question (au moins la première! lol):

"Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0;1] par
f(x) = x - 2RacinedeX +1
Cette fonction est dérivable sur ]0;1] ; et sa dérivée f' vérifie f'(1)=0.

Il faut montrer que racine de x + racine de y = 1
j'ai essayé avec x² + y ² mais ça ne donne rien

merci d'avance de votre aide

Ouvre un peu les yeux ! Si on te demande d'utiliser c'est peut-être que y est le carré de quelque chose !



Ça saute aux yeux !
Tu connais tes identités remarquables ? Tu connais (a²-2ab+b²)= ???

[Anonyme]

Ouvre un peu les yeux ! Si on te demande d'utiliser c'est peut-être que y est le carré de quelque chose !



Ça saute aux yeux !
Tu connais tes identités remarquables ? Tu connais (a²-2ab+b²)= ???

salut !

a ben oui, bien sur !
c'était tellement évident que je ne l'ai pas vu, je cherchais quelque chose de plus compliqué...

merci beaucoup désolé de t'avoir "sâoulé" avec ma question bête

[Anonyme]

je viens de démontrer que la représentation graphique de la fonction était symétrique par rapport à la droite d'équation y=x.

Je bloque encore sur l'avant dernière question: "Si la représentation graphique de la fonction était un arc de cercle, quel pourrait être son centre ? Quel pourraît être son rayon"
D'après mon dessin je peux conjecturer que le centre serait le point de coordonnées (1;1); mais je n'arrive pas à le prouver

merci

[Chimerade]

je viens de démontrer que la représentation graphique de la fonction était symétrique par rapport à la droite d'équation y=x.

Je bloque encore sur l'avant dernière question: "Si la représentation graphique de la fonction était un arc de cercle, quel pourrait être son centre ? Quel pourraît être son rayon"
D'après mon dessin je peux conjecturer que le centre serait le point de coordonnées (1;1); mais je n'arrive pas à le prouver

merci

Je pense que ce n'est pas un cercle. Mais on te demande simplement une conjecture, une supposition. Pour définir un cercle il suffit de trois points. Tu peux choisir 3 points, trouver le centre et le rayon du cercle qui passe par ces trois points, et enfin choisir un quatrième point sur ta courbe et voir si ce quatrième point appartient à la courbe. Si le quatrième point est sur le cercle, cela confortera ta conjecture, mais ce ne sera pas une preuve. Par contre si ton quatrième point n'est pas sur le cercle alors tu pourra affirmer que cette courbe, bien que ressemblant à un cercle, n'en est pas un.

Petite question : as-tu appris à faire un changement de repère ?

[Anonyme]

Je pense que ce n'est pas un cercle. Mais on te demande simplement une conjecture, une supposition. Pour définir un cercle il suffit de trois points. Tu peux choisir 3 points, trouver le centre et le rayon du cercle qui passe par ces trois points, et enfin choisir un quatrième point sur ta courbe et voir si ce quatrième point appartient à la courbe. Si le quatrième point est sur le cercle, cela confortera ta conjecture, mais ce ne sera pas une preuve. Par contre si ton quatrième point n'est pas sur le cercle alors tu pourra affirmer que cette courbe, bien que ressemblant à un cercle, n'en est pas un.

Petite question : as-tu appris à faire un changement de repère ?

je n'ai pas appris à faire un changement de repère, mais je ne comprends pas exactement ce que je dois faire. La question suivante est justement "La courbe est elle un arc de cercle?"

[Chimerade]

je n'ai pas appris à faire un changement de repère, mais je ne comprends pas exactement ce que je dois faire. La question suivante est justement "La courbe est elle un arc de cercle?"

Bon ! Je t'expliques plus précisément ce que je voulais dire. Je t'ai suggéré de trouver quatre points de la courbe. Prenons des points de coordonnées simples.

Pour commencer x=0, y =1 ! Facile.
Et, puisque ta courbe est symétrique par rapport à la droite d'équation y=x, profitons-en : on a en prime immédiatement un deuxième point : le point symétrique : x=1,y=0

Où choisir le troisième point ? Pourquoi pas sur l'axe de symétrie ?


Cherchons x pour que x=y !

d'où ou



On a déjà trois points : (0,1),(1,0),(1/4,1/4)

Un quatrième point ! Choisissons un x qui soit le carré d'un rationnel pour avoir des calculs simples. Par exemple qui est le carré de . Alors

Nous avons nos quatre points : (0,1),(1,0),(1/4,1/4) et (1/64,49/64)

Si la courbe en question était un cercle, tes quatre points appartiendraient au cercle, d'accord ? Bon ! Mais avec les trois premiers tu détermines déjà un cercle : il n'y a qu'un seul cercle qui passe par trois points non alignés. Donc si ta courbe est un arc de cercle il s'agit forcément du cercle qui passe par tes trois premiers points ! Cherchons le !

Le centre du cercle que l'on cherche, dont les coordonnées seront (x,y), doit être à égale distance des points (0,1) et (1,0) donc :

soit

soit finalement
On le savait déjà puisque ces deux points sont symétriques par rapport à la droite d'équation x=y !

Le centre du cercle que l'on cherche doit être à égale distance des points (1,0) et (1/4,1/4) donc :

soit

soit encore

qui se simplifie en :


Récapitulons : on cherche le centre du cercle tel que :

x=y
et
12x-4y=7

On trouve immédiatement

Histoire de vérifier un peu, calculons le carré D² de la distance de ce point à chacun des trois points :

Pour le point (0,1) :



Pour le point (1,0) :



Pour le point (1/4,1/4) :




C'est bon ! Donc si ta courbe est un arc de cercle, le cercle en question est nécessairement le cercle de centre et de rayon

Par conséquent, le quatrième point appartient à ce cercle. Vérifions le en calculant le carré de la distance de ce quatrième point au centre du cercle :

Pour le point (1/64,49/64) :



D n'est pas égal à


Donc ton quatrième point n'est pas sur le cercle déterminé par les trois premiers. Ta courbe n'est pas un cercle !

J'ai commencé par le plus compliqué : ce que je t'avais suggéré !

Mais il y a beaucoup plus simple ! En effet, un cercle est une courbe finie : il n'y a pas de points à l'infini ! Or ta courbe est définie pour x variant de 0 à + l'infini. Il y a des points aussi loin que l'on veut ! Donc ça ne peut pas être un cercle !

Je t'ai demandé si tu savais faire un changement de repère ! Tu m'as dit non, donc c'est tout ce que tu peux faire ! Mais, pour information, je t'indique que ta courbe est un morceau de parabole, dont l'axe est bien sûr l'axe de symétrie que tu as déterminé : la droite d'équation y=x. Mais ça tu apprendras à le faire un peu plus tard !