Exercice 1èreS [Erdös-Mordell]

[mathelot]

Bonjour à tous, :we:

Je vous propose une démonstration du théorème d'Erdös-Mordell:


Soit P un point intérieur du triangle ABC.
On appelle a,b,c les trois côtés , les distances de P
aux trois côtés et les longueurs PA,PB,PC.

(1) Supposons P BC
Montrer que l'aire de ABC est égale à

En déduire que


(2)
à l'aide d'une homothétie de centre A, montrer que cette égalité
est vraie pour tout P.
(3)
En utilisant l'image de P par la réflexion (symétrie orthogonale) de droite la bissectrice intérieure de l'angle en A, montrer que


(4)
En déduire que


et finalement que


c'est le théorème d'Erdös-Mordell !!


(5)
Montrer que c'est une égalité si et seulement si ABC est équilatéral et P son centre.

[mathelot]

Aide :



O)
penser à la formule d'aire d'un triangle et à l'inégalité triangulaire
I)
Les trois côtés "jouent" le même rôle.
Si l'on montre une inégalité valable pour AB et AC,
par permutation circulaire des letttres, elle sera encore valable
pour BC et BA

II)
on a toujours
b^2+c^2-2bc qui est positif.

IV)
les réflexions conservent les distances



fin de l'aide

[mathelot]

Le mathématicien Paul Erdös a eu une vie mouvementée.

Ses démonstrations sont empreintes de subtilité et de raffinement.

Il a cosigné des milliers d'articles et chaque mathématicien (enfin presque)
possède son nombre d'Erdös

içi

[GeorgeB]

Bonjour je suis très intéressé par cet exercice, malheureusement je bloque à la deuxième partie de la première question, je n'arrive pas a montré que

Comment puis-je résoudre cette question ? Je vous remercie d'avance.

P.S. Je crois qu'il y a une erreur sur la première partie de la question, c'est 1/2(ar_a+br_b+cr_c)

[mathelot]

Je crois qu'il y a une erreur sur la première partie de la question, c'est 1/2(ar_a+br_b+cr_c)

réponse

Pour la 1ère question, on suppose provisoirement que P appartient
au côté [BC]
On le projette alors perpendiculairement sur les côtés [AB] (en U disons) et sur [AC] (disons en V)
le triangle ABC est alors la réunion des triangles PAB et PAC
la formule résulte alors du calcul d'aire

malheureusement je bloque à la deuxième partie de la première question, je n'arrive pas a montré que

réponse :


Pour la question(1) R_a est la longueur PA
Elle est supérieure ou égale à la longueur du pied de perpendiculaire
issue de A.
1/2 aR_a est minorée par l'aire du triangle.