Bonjour, je bloque sur un exercice de mon DM. L'exercice parait simple mais il est beaucoup plus difficile qu'il en a l'air.
J'aimerai savoir si quelqu'un peut m'aider à résoudre cette exercice.
Le général Bonaparte marche en tête d´une armée de 5 km de long avançant à une vitesse constante. Soudain, le cavalier fermant la marche aperçoit un éclaireur de l´armée adverse passer derrière lui. Il part avertir le général et une fois arrivé, ce dernier lui donne un ordre de manoeuvre pour les hommes fermant la marche. Au moment où le cavalier revient à l´arrière, l´armée a parcouru 5 km. Quelle est la distance totale parcourue par le messager ?
Merci d'avance !
Exercice casse-tête 1ereS
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par Robic » 03 Nov 2013, 01:45
Bonjour ! Dans ce genre d'exercice, il faut en général modéliser le problème. En réfléchissant un peu, j'ai trouvé une méthode, mais elle est vraiment très longue et je ne serais pas étonné qu'il y ait beaucoup, beaucoup plus astucieux ! Mais au moins ça marche.
[J'avais commencé ce message avec pour but de montrer un exemple de modélisation. Mais ça m'a mené à des calculs plus compliqués que prévu, du coup je les ai expédiés rapidement et, inévitablement, j'ai fait une petite erreur de calcul que Tiruxa, plus bas, a détectée. Je laisse le texte original, sinon on ne comprendrait pas pourquoi Tiruxa me trouve une erreur (j'ai juste enlevé les 2 exemples), mais j'ajoute en rouge la correction.]
Modélisation :
- On se place sur un axe x'x dont l'unité est le km. On choisit comme origine la position de la queue de l'armée au temps t = 0 = moment où le cavalier décide d'aller avertir Bonaparte.
- q(t) représente la position de la queue à l'instant t. Donc q(0) = 0. Mettons que l'armée avance à la vitesse v, il est facile de trouver que q(t) = vt (évident ou pas ?).
- b(t) représente la position de Bonaparte à l'instant t. Cette fois b(0) = 5, donc b(t) = vt + 5.
- c(t) représente la position du cavalier à l'instant t. C'est ce qu'il faut calculer.
- On suppose par ailleurs que le cavalier, une fois arrivé en tête de colonne, retourne aussitôt en arrière, et qu'il avance toujours à la même vitesse (ce n'est pas dit dans le problème, peut-être que c'est une info inutile d'ailleurs... ?)
- On peut calculer l'instant t_final pour lequel le cavalier est revenu : l'armée a parcouru 5 km, donc q(t_final) = 5. Je te laisse calculer la valeur finale de t (j'ai trouvé t_final = 5/v).
b, q et c peuvent être vues comme des fonctions de t. Mieux : b et q sont des fonctions affines, on peut donc les représenter graphiquement, dans un repère où l'abscisse est t et l'ordonnée est x, par des segments de droites que j'appelle B et Q (tout le dessin se fait entre t = 0 et t = t_final). Quant à c, on peut le représenter par deux fonctions affines c1 (quand il avance) et c2 (quand il recule), donc graphiquement par un ensemble de deux segments qui doivent avoir la même pente en valeur absolue (si on suppose la vitesse du cavalier constante, d'abord positive puis négative (faut-il expliquer pourquoi ?)).
Normalement, en faisant un dessin, on voit qu'il est possible de calculer la pente de ces deux segments, du moins en fonction de v. Par exemple le 1er segment correspond à c1(t) = kt où k est la vitesse du cavalier (k comme cavalier... ou comme coefficient de proportionnalité). L'intersection de C1 avec B est calculable (en fonction de k et v) en cherchant t tel que vt+5 = kt (on trouve t = 5/(k-v)).
Le 2è segment part de ce point d'intersection avec une pente de -k (puisque le cavalier part en arrière) et doit couper la droite t =t_final en l'ordonnée x=5. Il suffit de calculer une équation de ce 2è segment (dans un repère (t,x) une équation est de la forme x = at + b) :
- on connaît son coeff. directeur : -k ;
- on sait qu'il passe par le point (t=5/(k-v) ; x=5k/(k-v)).
Après calcul (j'ai l'air de donner la solution, sauf que je ne détaille aucun calcul, donc à toi de les faire !) je trouve comme équation :
x = -kt + 10k/(k-v).
Au temps t = t_final = 5/v, on obtient donc : x = -5k/v + 10k/(k-v). Or cette valeur doit être égale à 5 (puisque le cavalier est revenu, il est alors en x=5). On a donc une équation :
(*) -5k/v + 10k/(k-v) = 5 (l'inconnue est k, v est juste un paramètre).
Solution (après résolution, je ne détaille pas) : k = v +/- racine(1 + v²). Comme k est positif : k = v + racine(1 + v²). Erreur ! C'est une erreur stupide de calcul de discriminant : j'ai pris c=-1 au lieu de c=-v. Bouh !
En fait k = v(1 + racine(2)).
On peut maintenant calculer la distance parcourue :
- quand le cavalier avançait, il est passé de x=0 à x=5k/(k-v) ;
- quand il reculait, il est passé de x=5k/(k-v) à x=5.
La distance parcourue est donc :
D = [ 5k/(k-v) - 0 ] + [ 5k/(k-v) - 5 ] = 10k/(k-v) - 5 = 5k/v (d'après (*)),
c'est-à-dire :
D = 5(v+racine(1+v²)) / v. Visiblement ça dépend de v.
En fait ça donne D = 5k/v = 5(1 + racine(2)) : ça ne dépend plus de v !
Autrement dit : D ~ 12,071 km.
(5k/v, c'est en fait la valeur de c1(t) pour t = t_final - faire un dessin, c'est normal).
Si je ne me suis pas trompé, ce problème dépend donc de v. En fait non ! C'est un DM à quel niveau ? Je soupçonne que le but n'est pas de le résoudre mais de voir comment les élèves vont se dépatouiller... Et vu comme ma méthode est compliquée, je ne suis pas sûr de mériter une très bonne note... :lol3: (Juste à cause d'une petite erreur de calcul...)
[J'avais commencé ce message avec pour but de montrer un exemple de modélisation. Mais ça m'a mené à des calculs plus compliqués que prévu, du coup je les ai expédiés rapidement et, inévitablement, j'ai fait une petite erreur de calcul que Tiruxa, plus bas, a détectée. Je laisse le texte original, sinon on ne comprendrait pas pourquoi Tiruxa me trouve une erreur (j'ai juste enlevé les 2 exemples), mais j'ajoute en rouge la correction.]
Modélisation :
- On se place sur un axe x'x dont l'unité est le km. On choisit comme origine la position de la queue de l'armée au temps t = 0 = moment où le cavalier décide d'aller avertir Bonaparte.
- q(t) représente la position de la queue à l'instant t. Donc q(0) = 0. Mettons que l'armée avance à la vitesse v, il est facile de trouver que q(t) = vt (évident ou pas ?).
- b(t) représente la position de Bonaparte à l'instant t. Cette fois b(0) = 5, donc b(t) = vt + 5.
- c(t) représente la position du cavalier à l'instant t. C'est ce qu'il faut calculer.
- On suppose par ailleurs que le cavalier, une fois arrivé en tête de colonne, retourne aussitôt en arrière, et qu'il avance toujours à la même vitesse (ce n'est pas dit dans le problème, peut-être que c'est une info inutile d'ailleurs... ?)
- On peut calculer l'instant t_final pour lequel le cavalier est revenu : l'armée a parcouru 5 km, donc q(t_final) = 5. Je te laisse calculer la valeur finale de t (j'ai trouvé t_final = 5/v).
b, q et c peuvent être vues comme des fonctions de t. Mieux : b et q sont des fonctions affines, on peut donc les représenter graphiquement, dans un repère où l'abscisse est t et l'ordonnée est x, par des segments de droites que j'appelle B et Q (tout le dessin se fait entre t = 0 et t = t_final). Quant à c, on peut le représenter par deux fonctions affines c1 (quand il avance) et c2 (quand il recule), donc graphiquement par un ensemble de deux segments qui doivent avoir la même pente en valeur absolue (si on suppose la vitesse du cavalier constante, d'abord positive puis négative (faut-il expliquer pourquoi ?)).
Normalement, en faisant un dessin, on voit qu'il est possible de calculer la pente de ces deux segments, du moins en fonction de v. Par exemple le 1er segment correspond à c1(t) = kt où k est la vitesse du cavalier (k comme cavalier... ou comme coefficient de proportionnalité). L'intersection de C1 avec B est calculable (en fonction de k et v) en cherchant t tel que vt+5 = kt (on trouve t = 5/(k-v)).
Le 2è segment part de ce point d'intersection avec une pente de -k (puisque le cavalier part en arrière) et doit couper la droite t =t_final en l'ordonnée x=5. Il suffit de calculer une équation de ce 2è segment (dans un repère (t,x) une équation est de la forme x = at + b) :
- on connaît son coeff. directeur : -k ;
- on sait qu'il passe par le point (t=5/(k-v) ; x=5k/(k-v)).
Après calcul (j'ai l'air de donner la solution, sauf que je ne détaille aucun calcul, donc à toi de les faire !) je trouve comme équation :
x = -kt + 10k/(k-v).
Au temps t = t_final = 5/v, on obtient donc : x = -5k/v + 10k/(k-v). Or cette valeur doit être égale à 5 (puisque le cavalier est revenu, il est alors en x=5). On a donc une équation :
(*) -5k/v + 10k/(k-v) = 5 (l'inconnue est k, v est juste un paramètre).
Solution (après résolution, je ne détaille pas) : k = v +/- racine(1 + v²). Comme k est positif : k = v + racine(1 + v²). Erreur ! C'est une erreur stupide de calcul de discriminant : j'ai pris c=-1 au lieu de c=-v. Bouh !
En fait k = v(1 + racine(2)).
On peut maintenant calculer la distance parcourue :
- quand le cavalier avançait, il est passé de x=0 à x=5k/(k-v) ;
- quand il reculait, il est passé de x=5k/(k-v) à x=5.
La distance parcourue est donc :
D = [ 5k/(k-v) - 0 ] + [ 5k/(k-v) - 5 ] = 10k/(k-v) - 5 = 5k/v (d'après (*)),
c'est-à-dire :
D = 5(v+racine(1+v²)) / v. Visiblement ça dépend de v.
En fait ça donne D = 5k/v = 5(1 + racine(2)) : ça ne dépend plus de v !
Autrement dit : D ~ 12,071 km.
(5k/v, c'est en fait la valeur de c1(t) pour t = t_final - faire un dessin, c'est normal).
Si je ne me suis pas trompé, ce problème dépend donc de v. En fait non ! C'est un DM à quel niveau ? Je soupçonne que le but n'est pas de le résoudre mais de voir comment les élèves vont se dépatouiller... Et vu comme ma méthode est compliquée, je ne suis pas sûr de mériter une très bonne note... :lol3: (Juste à cause d'une petite erreur de calcul...)
par Tiruxa » 03 Nov 2013, 18:38
Je ne trouve pas le même résultat.
J'ai utilisé une méthode arithmétique.
Notons a la vitesse de l'armée et c celle du cavalier en km/h.
On va calculer le temps T1 que met le cavalier pour rejoindre Bonaparte et T2 le temps qu'il met pour rejoindre sa place en queue.
le temps total est 5/a en utilisant la formule t = d/v
Calcul de T1
Le cavalier doit rattraper Bonaparte qui à 5km d'avance
Chaque heure il parcourt (c km) et Bonaparte (a km) dans le même sens donc il rattrape (c-a) km
Pour rattraper les 5 km il lui faut T1 = 5/(c-a) (simple règle de 3)
Calcul de T2
Le cavalier doit rejoindre la queue située à à 5km
Chaque heure il parcourt (c km) et la queue de l'armée (a km) en sens contraire donc la distance entre les 2 diminue de (c+a) km
Pour qu'elle diminue de 5 km il lui faut T2 = 5/(c+a) (simple règle de 3 là aussi)
Or on a donc T1+T2=5/a
donc 5/(c-a) + 5/(c+a) = 5/a
ou 1/(c-a) + 1 /(c+a) = 1/a
La question posée est quelle est la distance parcourue par le cavalier
La vitesse est c le temps total 5/a d'où la distance est 5 (c/a)
On voit qu'on a juste besoin du rapport des vitesses c/a que j'appelle k. k=c/a donc c = ka.
Pour faire apparaitre k dans l'équation je remplace c par ka
En multipliant par a les deux membres et en simplifiant on trouve :
1/(k-1)+1/(k+1)=1
Equation qui conduit à une équation du second degré dont la seule solution positive est 1 +racine(2)
Donc k = 1 + racine(2)
Distance parcourue par le cavalier : 5k soit 5+5racine (2) soit environ 12,07 km
J'ai utilisé une méthode arithmétique.
Notons a la vitesse de l'armée et c celle du cavalier en km/h.
On va calculer le temps T1 que met le cavalier pour rejoindre Bonaparte et T2 le temps qu'il met pour rejoindre sa place en queue.
le temps total est 5/a en utilisant la formule t = d/v
Calcul de T1
Le cavalier doit rattraper Bonaparte qui à 5km d'avance
Chaque heure il parcourt (c km) et Bonaparte (a km) dans le même sens donc il rattrape (c-a) km
Pour rattraper les 5 km il lui faut T1 = 5/(c-a) (simple règle de 3)
Calcul de T2
Le cavalier doit rejoindre la queue située à à 5km
Chaque heure il parcourt (c km) et la queue de l'armée (a km) en sens contraire donc la distance entre les 2 diminue de (c+a) km
Pour qu'elle diminue de 5 km il lui faut T2 = 5/(c+a) (simple règle de 3 là aussi)
Or on a donc T1+T2=5/a
donc 5/(c-a) + 5/(c+a) = 5/a
ou 1/(c-a) + 1 /(c+a) = 1/a
La question posée est quelle est la distance parcourue par le cavalier
La vitesse est c le temps total 5/a d'où la distance est 5 (c/a)
On voit qu'on a juste besoin du rapport des vitesses c/a que j'appelle k. k=c/a donc c = ka.
Pour faire apparaitre k dans l'équation je remplace c par ka
En multipliant par a les deux membres et en simplifiant on trouve :
1/(k-1)+1/(k+1)=1
Equation qui conduit à une équation du second degré dont la seule solution positive est 1 +racine(2)
Donc k = 1 + racine(2)
Distance parcourue par le cavalier : 5k soit 5+5racine (2) soit environ 12,07 km
par Robic » 03 Nov 2013, 21:52
Puisque ta réponse ne dépend pas de la vitesse de l'armée, j'imagine que tu as la bonne réponse. Si j'avais le temps je chercherais mon erreur mais ça m'avait l'air de tenir debout pourtant.
par Tiruxa » 04 Nov 2013, 00:15
Après avoir lu votre solution je pense qu'il y a une erreur dans la résolution de l'équation (*)
Je l'ai résolue et, sauf erreur, je trouve k = v + racine(2) v (en ne prenant que la solution positive)
Donc en divisant par v
la rapport des vitesses est k/v = 1 +racine (2) , c'est à dire le résultat que j'ai trouvé.
Je l'ai résolue et, sauf erreur, je trouve k = v + racine(2) v (en ne prenant que la solution positive)
Donc en divisant par v
la rapport des vitesses est k/v = 1 +racine (2) , c'est à dire le résultat que j'ai trouvé.
par Robic » 04 Nov 2013, 06:25
Merci Tiruxa ! Comme j'ai retrouvé ma feuille de calcul, j'ai trouvé l'erreur : j'avais utilisé c=-1 au lieu de c=-v dans le calcul du discriminant. Du coup je retrouve ensuite pareil.
par chan79 » 04 Nov 2013, 10:28
Bonjour
Une approche graphique:
Horizontalement, le temps avec comme origine le moment où le cavalier quitte l'arrière de la colonne.
Verticalement, la distance parcourue avec comme origine la position de l'arrière de la colonne.
[BB''] déplacement de Napoléon
[AA''] déplacement de l'arrière de la colonne
Les segments [AB'] et [B'A''] présentent le déplacement du cavalier. Comme la vitesse est constante, le triangle IB'A'' est isocèle de sommet B'.
La distance parcourue par le cavalier est AB+2*BD=5+2x
On cherche d'abord x.
Avec les notations indiquées sur la figure, on utilise Thalès dans les triangles BB''A'' et IB'H
donc
on en déduit
Le cavalier a parcouru \simeq 12,07 km)
Une approche graphique:
Horizontalement, le temps avec comme origine le moment où le cavalier quitte l'arrière de la colonne.
Verticalement, la distance parcourue avec comme origine la position de l'arrière de la colonne.
[BB''] déplacement de Napoléon
[AA''] déplacement de l'arrière de la colonne
Les segments [AB'] et [B'A''] présentent le déplacement du cavalier. Comme la vitesse est constante, le triangle IB'A'' est isocèle de sommet B'.
La distance parcourue par le cavalier est AB+2*BD=5+2x
On cherche d'abord x.
Avec les notations indiquées sur la figure, on utilise Thalès dans les triangles BB''A'' et IB'H
donc
on en déduit
Le cavalier a parcouru
par Robic » 05 Nov 2013, 02:04
Très intéressant !
Quoiqu'il en soit, on voit bien que la difficulté de ce genre d'exercice, c'est la modélisation et non les notions de maths (la dernière méthode utilise Thalès, elle est donc en théorie à la portée d'élèves de 3è, encore faut-il y penser !)
Quoiqu'il en soit, on voit bien que la difficulté de ce genre d'exercice, c'est la modélisation et non les notions de maths (la dernière méthode utilise Thalès, elle est donc en théorie à la portée d'élèves de 3è, encore faut-il y penser !)
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