Équations-inéquations, polynômes

[louiise.l]

Bonjour, je suis élève de 1ère S, j'ai un DM de maths a rendre bientôt et un exercice me pose vraiment problème .. :( (le professeur a bien précisé que c'était difficile)
Je vous le pose ci-dessous .. Peut être auriez vous une solution .. :/

Mercii d'avance :D !


--> Démonter de manière simple que,pour tout x :
[(x-a)(x-b)] / [(c-a)(c-b)] + [(x-b)(x-c)] / [(a-b)(a-c)] + [(x-c)(x-a)] / [(b-c)(b-a)] = 1

[titine]

Bonjour, je suis élève de 1ère S, j'ai un DM de maths a rendre bientôt et un exercice me pose vraiment problème .. (le professeur a bien précisé que c'était difficile)
Je vous le pose ci-dessous .. Peut être auriez vous une solution .. :/

Mercii d'avance !


--> Démonter de manière simple que,pour tout x :
[(x-a)(x-b)] / [(c-a)(c-b)] + [(x-b)(x-c)] / [(a-b)(a-c)] + [(x-c)(x-a)] / [(b-c)(b-a)] = 1

As tu essayé de réduire au même dénominateur en prenant comme dénominateur commun (a-b)(a-c)(b-c) ?

[Ericovitchi]

un moyen élégant : la fonction f(x) = [(x-a)(x-b)] / [(c-a)(c-b)] + [(x-b)(x-c)] / [(a-b)(a-c)] + [(x-c)(x-a)] / [(b-c)(b-a)] est de degré 2, donc c'est une parabole.

mais on calcule facilement f(a) =1 ; f(b) = 1 et f(c) = 1
or dans une parabole on ne peut pas avoir 3 points alignés car toute droite coupe une parabole qu'en deux points seulement. donc la parabole est forcement dégénérée et constante (=1)