Equation différentielle (Terminale)

[Hello30]

Bonsoir,

Pouvez-vous m'aider ? J'ai entamé l'exercice mais je n'arrive pas à poursuivre en vous épargnant les détails des calculs, voici ce que j'ai trouvé :

1. a = k (j'ai remplacer y par g(t) dans (E) et résolu l'équation)

1.b. J'en ai déduit toutes les solutions suivantes de (E) : y = Ce^-t + kte^-t. On sait que f(0,05) = 0 donc pour f on a C = 0,05 soit f(t) = 0,05e^-t + kte^-t

2. Je n'y arrive pas mais en dérivant f(t) on a : -e^-t(0,05-k+kt) = f'(t)

3. Je n'y arrives pas non plus mais a mon avis il faut utiliser le fait que f(3) = 0,8 pour trouver k et ensuites résoudre f(t)<0,2.

Merci d'avance pour vos réponses.

[phyelec]

Bonjour,

Sans l'énoncé , on ne peut pas savoir si pour le 1. la réponse est a = k

[Hello30]

Voici l'énoncé:
Lors d’une soirée, Noah a bu à jeun une certaine quan-
tité d’alcool. On s’intéresse à son taux d’alcool dans le
sang, exprimé en g/L, en fonction du temps t, exprimé
en heure.
Comme il faut un certain temps pour que le corps
absorbe l’alcool, on peut modéliser son taux d’alcool
par une fonction f définie sur [0,05;+inf[.
On admet que f est solution de l’équation différen-
tielle (E) : y' = -y +ke^-t et f(0,05) = 0, où k est une
constante positive dépendant de la quantité d’alcool
absorbée et la corpulence de l’individu.
1. a. Exprimer, en fonction de k, le nombre réel a tel
que la fonction g définie sur [0;+inf[ par:
g(t) = ate^-t
soit une solution particulière de l’équation différen-
tielle .
b. En déduire l’expression de f(t) en fonction de k.
2. Étudier le sens de variation de la fonction f et vérifier
qu’il ne dépend pas de k.
3. Au bout de 3 heures, Noah teste son alcoolémie et
obtient un taux d’alcool égal à 0,8 g/L.
Sachant que Noah est un jeune conducteur et que,
selon la loi française, le taux d’alcool maximal autorisé
pour les jeunes conducteurs est 0,2 g/ L
, combien
de temps devra-t-il patienter pour pouvoir prendre le
volant et rentrer chez lui?

[phyelec]

Ok pour le 1.a. Je regarde pour le 1.b et revient vers vous

[phyelec]

pour la constante C je trouve C=-0.05*k ( sauf erreur de calcul de ma part)

[Hello30]

Oui après vérification je trouve la même chose

[phyelec]

pour f' vous trouvez quoi?

[Hello30]

J'ai une question la dérivée de -0,05k vaut 0 ?

[phyelec]

Oui car -0,05k est une constante et la dérivée d'une constante est nulle

[Hello30]

Je trouve :
f'(x) = ke^-t (1,05-t)

[Hello30]

Or, ke^-t est toujours positif car k > 0

[Hello30]

Lorsque t > 1,05 alors f'(x) est positif
Lorsque t<1,05 alors f'(x) est négatif

[Hello30]

On voit que k n'intervient pas dans l'étude du signe de f'(x) car il est positif

[phyelec]

Oui à votre avant dernier poste. Oui k est positif mais e^-t est toujours positif aussi. Donc c'est le produit ke^-t qui est toujours postif

[phyelec]

Oui pour vos deux derniers postes.

[Hello30]

Je crois que je me suis trompé, je me rectifie :
Lorsque t > 1,05 alors f'(x) est négatif donc f(x) est décroissant
Lorsque t<1,05 alors f'(x) est positif donc f(x) est croissant
Ce qui me semble plus logique étant donné que l'alcool dans le sang augmente lors de la prise d'alcool puis diminue

[Hello30]

Par contre pour la question 3. je trouve une veleur de k bizarre.

[phyelec]

Oui bien sûr, j'avais lu votre poste un peu rapidement : 1,05 -t > 0 implique t<1,05
et pour t=1,05 f'(x)=0

[phyelec]

attention aux unités. 0,8 est en g/L et t doit être en quoi?

[phyelec]

en heure c'est dans l'énoncé ( sorry)