Equation différentielle

par **Anonyme** » 25 Déc 2005, 18:30

Bonjour tout le monde. Tout d'abord je vous souhaite à tous un joyeux Noël !
Je viens ici car j'aurais besoin d'aide pour un exercice.
Merci d'avance à ceux qui prendront le temps de lire la suite..

{Je bloque dès la question 1°) b), je passe donc la 1°) a) }

On se propose de déterminer l'ensemble E de toutes les fonctions f définies sur R, dérivables deux fois et vérifiant f '' + f = 0
(f ''(x) + f(x) = 0 pour tout x réel)

1°) b) Prouver que si f et g sont deux fonctions de E, alors f+g et kf (k réel) sont aussi des fonctions de E.

Rappel : La fonction f+g est la fonction qui à tout réel x associe f(x) + g(x)
La fonction kf est la fonction définie sur R par : (kf)(x) = k.f(x)

par **Nightmare** » 25 Déc 2005, 18:36

Bonsoir

Ce n'est pas bien difficile :

(f+g)''+(f+g)=f''+g''+f+g=(f''+f)+(g''+g)=0+0=0 (comme f et g sont des fonctions de E)

de même :
(kf)''+kf=kf''+kf=k(f''+f)=k*0=0 (car f est une fonction de E)

:happy3:

par **Anonyme** » 25 Déc 2005, 18:55

Merci de ton aide ! C'est vrai que je me prenais la tête pour pas grand chose en fait ! ^^

par **Nightmare** » 25 Déc 2005, 18:56

De rien :happy:

par **Anonyme** » 25 Déc 2005, 20:05

J'ai à nouveau un souci dans cet exo :( Est ce que vous pourriez m'aider svp ?

J'ai montré que si f appartenait à E, alors la fonction [ (f ')² + f² ] était constante sur R.

On suppose ensuite f une fonction de E telle que f(0) = f '(0) = 0
Les questions sont :
_ Caractériser la fonction [ (f ')² + f²].
Je ne suis pas sûr de bien comprendre ce qui est demandé, mais j'ai calculé [ (f ')² + f²](x) et trouvé [ (f ')² + f²](x)=0

_ Puis en déduire que f est la fonction nulle...

par **Nightmare** » 25 Déc 2005, 20:13

Re bonsoir

f est solution de E et vérifie f(0)=f'(0)=0

Si f est solution de E, on a (f')²+f² constante sur R, ainsi il existe k tel que pour tout x de R :
(f')²(x)+f²(x)=k
En prenant x=0
(f')²(0)+f²(0)=k
soit :
k=0
Ainsi :
(f')²+f²=0
donc
(f')²=-f²
celà n'est possible que si f=0 et si f'=0. On en conclut que f ne peut être que la fonction nulle

:happy3:

par **Anonyme** » 25 Déc 2005, 20:20

Ok, merci encore une fois pour ton aide ! C'est vraiment sympa

par **Nightmare** » 25 Déc 2005, 20:21

:++:

pas de problèmes

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