Equation différentielle : y' = ay + b

[lapras]

Bonsoir,
je cherche à démontrer que l'ensemble des solutions de l'équation différentielle y' = ay + b est l'ensemble des fonctions de la forme :
y = k*exp(ax) - b/a
a, b et k sont des réels.
Voici comment je le démontrerai, mais je ne suis pas sur de la validité de ma démo...

si y = k*exp(ax) - b/a , alors y' = k*exp(ax)' = ak*exp(ax) (définition fonction exponentielle, dérivée de fonctions composées...)
vérifions si y' vérifie bien y' = ay + b :

y' = ak*exp(ax) = ak*exp(ax) - b + b = a(k*exp(ax) - b/a) + b = ay + b
Condition vérifiée
Voila ^^
en fait je pars du résultat de la démo et je le vérifie, c'est un peu nul je trouve...
non ?

[anima]

Bonsoir,
je cherche à démontrer que l'ensemble des solutions de l'équation différentielle y' = ay + b est l'ensemble des fonctions de la forme :
y = k*exp(ax) - b/a
a, b et k sont des réels.
Voici comment je le démontrerai, mais je ne suis pas sur de la validité de ma démo...

J'ai l'habitude de faire la démo depuis cette année, donc... :p

Version lycée: a,b constantes.
Résolvons l'equation homogene y'=ay.
y=0 solution evidente; on cherche alors l'ensemble des fonctions y=f(x) vérifiant y'=ay (et ne s'annulant pas).
y'/y = a
integration... ln|y| = ax+c
exponentielle: |y| = e^(ax+c)
|y| = e^c * e^ax
y = e^c * e^ax ou y= - e^c e^ax
Par un tour de hocus pocus, e^c et -e^c décrivent a eux deux R*. On peut donc dire que l'ensemble des solutions de l'EH (en réinjectant y=0) est...
y=Ae^ax A€R.

Recherche d'une solution particuliere de l'EC: y'=ay+b
Posons y0=cx+d; y0'=c.
c = a(cx+d)+b
Dans ces cas-la, si a,b constantes, c a intéret a etre égal a zéro :ptdr:
On trouve notre solution de l'EC (notons la y0), et on enonce le theoreme bien pratique: la solution générale d'une EC est la somme de la solution generale de l'EH + une solution particuliere de l'EC. Fin de l'histoire;
y=Ae^(ax) + y0, A€R.

La methode un peu plus intelligente avec a,b fonctions de x si tu demandes :++:

[lapras]

Ok je comprend :)
Merci anima :++:
(ps : je n'ai pas vu les ln , je sais juste que si exp(x) = k , alors ln(k) = x )

[kazeriahm]

le problème je crois anima c'est que tu ne t'intéresses qu'aux solutions qui ne s'annule pas, et pour faire ca tuas besoin du théorème de Cauchy Lispchitz

je te propose autre chose lapras :

la fonction constante x-> -b/a est bien solution de ton équation, je l'appelle y0 (y0(x)=-b/a)

soit y une solution de ton équation

y'=a*y+b et y0'=a*y0+b

donc (y-y0)'=a*(y-y0)

soit h=y-y0

alors h'=a*h (1), on se ramène à l'équation homogène si on trouve h, on trouve y=h+y0 (c'est ce que te disais anima, solution de "l'équation homogène" h + solution particulière y0)

les fonctions C*exp(ax) sont solutions de (1), montrons que ce sont les seuls

soit g une autre fonction solution de (1)

on considère la fonction u qui à x associe u(x)=g(x)*exp(-a*x)

alors en dérivant u'(x)=g'(x)*exp(-a*x)-a*g(x)*exp(-a*x)

Or g est solution de (1) donc g'(x)=a*g(x)

donc u'(x)=0, c'est à dire que u est constante. u(x)=C.

Or u(x)=C=g(x)*exp(-a*x) c'est à dire g(x)=C*exp(a*x)

Les seules solutions de (1) sont donc bien les x->C*exp(a*x)

donc h est de cette forme et on trouve donc y

j'éspère que tu prendras soin de lire :dodo:

[anima]

le problème je crois anima c'est que tu ne t'intéresses qu'aux solutions qui ne s'annule pas, et pour faire ca tuas besoin du théorème de Cauchy Lispchitz

Tu viens de compléter mon cours de maths avancés. J'ai tout noté en complément, merci :ptdr:

[lapras]

kazeriahm,

la fonction constante x-> -b/a est bien solution de ton équation, je l'appelle y0 (y0(x)=-b/a)

soit y une solution de ton équation

y'=a*y+b et y0'=a*y0+b

donc (y-y0)'=a*(y-y0)

soit h=y-y0

alors h'=a*h (1), on se ramène à l'équation homogène si on trouve h, on trouve y=h+y0 (c'est ce que te disais anima, solution de "l'équation homogène" h + solution particulière y0)

Bien, mais il fallait démontrer que si y'=ay , alors y = k*exp(ax) est une solution lol

Mais bon ca je sais le démontrer, donc pasla peine !

Sinon, je trouve cela astucieux quand tu as poser u(x), et de prouver par la suite que c'était une constante ^^
J'aime bien aussi cette démo, merci !