[TS] Equation Differentielle (2)

[boubou01]

Je bloque encore une fois sur un exo sur les equations differentielles .. toute aide est la bienvenue :we:

[armor92]

Bonjour boubou,

1.
g(x) = 1/f(x) est dérivable car f est dérivable et ne s'annule jamais.
g'(x) = - f'(x)/(f(x))²

Par hypothèse, f est élément de E, donc f satisfait à l'équation différentielle :
f'(x) + 2 f(x) = (f(x))²

On peut diviser les deux membres de cette égalité par (f(x))²
f'(x)/(f(x))² + 2/f(x) = 1

2/f(x) = 1 - f'(x)/(f(x))²

2g(x) = 1 + g'(x)

g'(x) - 2 g(x) = - 1 qui est bien une équation différentielle de la forme cherchée.

2. Les solutions de l'equation différentielle homogène g'(x) - 2 g(x) = 0
sont de la forme :
g(x) = k exp(2x)
g(x) = 1/2 est solution particulière de l'équation g'(x) - 2 g(x) = - 1

La solution générale de l'équation g'(x) - 2 g(x) = - 1 est donc :
g(x) = k exp(2x) + 1/2, k réel quelconque

On cherche les solutions ne s'annulant jamais. Pour cela k doit etre positif ou nul.
Dans ce cas, on sait que f(x) = 1/g(x) est solution de E.

f(x) = 1 / (k exp(2x) + 1/2) = 2 / (2 k exp(2x) + 1)
avec k positif ou nul.