Equation différentielle et primitive [TS]

[bunny]

Bonjour à tous !

Je bloque sur cette exercice. Le voici :

On considère l'équation différentielle définie sur par .

1. Montrer que la fonction f définie sur par est solution de cette équation différentielle.
=> J'ai dit que la fonction f est solution de l'équation différentielle si .
J'ai donc calculer la dérivée de f sur .
Je trouve : .
Mais quand je veux calculer séparément , je ne retombe pas sur f '(x).

Voilà, il y a d'autres questions mais je ne l'ai mettrais que lorsque j'aurai réussi la première.
Je vous demande donc de m'aider s'il vous plaît. Ma dérivée est-elle juste ?

Merci par avance !
Bonne après midi !

[Ericovitchi]

Moi j'ai f'(x)=

le mieux est de la considérer comme et de la dériver comme un uv c.a.d en u'v+v'u

[bunny]

OK merci de m'avoir débloquer.

2. Pour tout x > 0, on pose .
a. Trouver une primitive de définie sur
=> J'ai trouvé :

b. En déduire les primitives de de définies sur

=> Je n'ai vraiment pas réussi. Je n'arrive pas à commencer. Quelle méthode dois-je suivre ?

Un grand merci par avance...

[Sa Majesté]

Ben puisque f est solution de l'équa diff tu as f'+f=H' donc f=H'-f'

[bunny]

OK je pense pouvoir m'en sortir maintenant.

Merci à tous et bonne soirée !

[bunny]

(Re)bonjour,

Après réflexion, je souhaite relancer le sujet car en fait je n'ai pas réussi à finir.

On me demande de déduire les primitives de de définies sur .
On me demande pas de déduire les primitives de .

Je dois donc trouver les primitives E de F non ? tel que E'(x) = F(x) ?
De plus, comme je dois déduire, il faut donc que je me serve de la question précédente.
Donc la démarche effectuée par Sa Majesté est bonne mais ne m'aide pas à répondre à la question. En effet, nous pouvons exprimer f en fonction de H ' et f ' mais comment arriver à exprimer F(x) ?
Qu'en pensez-vous ?

Je suis perdu et j'ai vraiment besoin d'aide.
Merci beaucoup pour vos réponses.

Bonne journée.

[bunny]

Je pense dans un premier temps que l'on doit trouver F.
* On sait que H'(x) = h(x) = f '(x)+f(x) donc f(x) = H'(x)-f '(x).
Comme F '(x) = f(x) alors F '(x) = f(x) = H'(x)-f '(x).
On cherche donc f(x).

J'aimerai donc trouver une primitive de cette fonction mais je n'ai aucunes formules du cours qui peut être appliqué dans ce cas.
De plus, il était logique que je trouve cette primitive à l'aide de la différence H '(x) - f '(x) mais là aussi je n'ai pas les formules requises.

Avez-vous des idées ?

Merci infiniment pour vos réponses.

[Ericovitchi]

L'idée surtout c'est que si F '(x) = H'(x)-f '(x) alors F(x)=H(x)-f(x) + C donc tu l'as déjà ta primitive

[bunny]

Donc si j'ai bien compris, on aurait :
F(x) = H(x) - f(x) = .

Donc la primitive F(x) est trouvée.
Mais l'énoncé demande les primitives de F(x).
Il faudrait donc calculer les primitives de F(x).
Mais comment arriver à les trouver ?
Je n'ai quand même aucunes formules sous la main pour m'en sortir...

[Ericovitchi]

"les primitives" donc n'oublies pas la constante C.

On t'a demandé les primitives de f(x) mais pas celles de F(x), il n'y avait pas ça dans ton énoncé ?

[bunny]

Et pourtant si !
On me demande :
b. En déduire les primitives de F de f définies sur

Cette phrase est différente de celle-ci :
" En déduire les primitives F de f définies sur "
Car sinon, j'aurai fini car maintenant les primitives F de f sont trouvées.
Elles sont de la forme :


Il faudrait que je primitive à nouveau l'expression obtenue (un peu lorsque l'on fait la dérivée seconde sauf que là c'est complètement l'inverse).
Et je n'ai pas beaucoup de formules adaptées pour trouver les primitives de F.
Je sais simplement que si , alors .
Et comment arriver à primitiver la partie manquante de l'expression de F(x), en l'occurence : ?

[Ericovitchi]

la primitive de tu l'as déjà puisque c'est f(x) et que les primitives de f(x) c'est F(x)

Par contre la primitive du morceau qui reste c.a.d ln((e^x-1)/(e^x+1)) ne peut s'exprimer qu'à l'aide de fonctions que tu ne connais pas (comme la fonction Polylogarithme)

[bunny]

OK. J'ai compris. Mais alors je ne peux pas finir la question ?
Pourtant, on peut essayer avec un changement de variable non ?
Si l'on pose , on sait que si , alors

[Ericovitchi]

non parce qu'il faut aussi que tu transformes le dx et comme X=e^x-1
dX= e^xdx et donc ton dx = dX/(X+1) tu as oublié ce 1/(X+1) qui te ramène à une primitive ln X/(X+1)

[bunny]

J'y suis presque. Si on pose ce que j'ai dit et que l'on dérive : , on tombe sur .
Il faudrait simplement rajouter une condition au départ pour qu'au final le e^x "disparaisse".

[bunny]

Bon OK. Visiblement t'as raison. Mais je reste coincé car je ne peux pas finir mon exercice... :triste:

[bunny]

L'exercice doit être accessible quand même au élèves de Terminale S donc si ça se trouve, nous somme parti sur une mauvaise piste dès le début. :hein:

[Ericovitchi]

Bon courage.

Voilà ce que donne les calculs automatiques de primitives :


avec la fonction Polylog d'ordre 2

Donc tu vas avoir du mal à trouver cette primitive avec juste quelques changements de variables.

désolé

[bunny]

:doh: Oui tout ça c'est très beau mais je n'ai pas vu les intégrales.
Donc il doit y avoir quelque chose de beaucoup beaucoup plus simple...
Je n'ai vu en cours que les primitives donc je dois pouvoir y arriver qu'avec ça.
J'espère pouvoir m'en sortir en reprenant depuis le début mon exo...

:triste: :triste: :triste:

[bunny]

Surtout, si d'autre personne ont des choses à ajouter n'hésitez pas.

Merci par avance.