Primitive primitive

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egan
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primitive primitive

par egan » 27 Juil 2009, 15:47

Salut tout le monde,
J'ai un gros problème (:mur:) pour trouver une forme générale d'une primitive de cette catégorie de fonctions définies sur par:
, , .
J'ai déjà essayé de faire le cas général () avec une intégration par parties mais on arrive sur des trucs horribles à intégrer, d'autant plus que le n inconnue pose problème.
Du coup, j'ai essayé de régler les cas où n appartient à {1;2;3} pour ensuite faire une conjecture et la démontrer par récurence mais pareil je me suis retrouvé avec d'affreux machins à intégrer.
Vous auriez une idée ?
Merci d'avance.
@+ Boris.



Maks
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par Maks » 27 Juil 2009, 15:57

Et une ptite règle de Bioche ? Mais après, tu sais, y'a pas forcemment de formule ... :briques:

sky-mars
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par sky-mars » 27 Juil 2009, 16:08

Hello
Cherche une relation de récurrence à l'aide d'intégration par partie si c'est possible

egan
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par egan » 27 Juil 2009, 16:23

C'est ce que j'essaye de faire mais les expressions à intégrer deviennent très vite affreuses.

egan
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par egan » 27 Juil 2009, 16:24

Maks a écrit:Et une ptite règle de Bioche ? Mais après, tu sais, y'a pas forcemment de formule ... :briques:


Qu'est-ce que la règle de Bioche ?

sky-mars
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par sky-mars » 27 Juil 2009, 17:00


Maks
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par Maks » 27 Juil 2009, 17:11

Pour ton cas, ça dépend de la parité de n :

si n est pair, le changement x -> -x marche,
si n est impair, ça foire un peu plus ...

Encore une fois, je ne suis pas sûr que ça simplifie grandement les choses.
Trouver une relation linéaire de récurrence serait peut-être une bonne piste, comme le propose sky-mars.

Euler911
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par Euler911 » 27 Juil 2009, 17:21

Bonsoir,

Je suis sceptique en lisant cet article ... Trouver une primitive de f(x) va être compliqué...

skilveg
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par skilveg » 27 Juil 2009, 17:23

Peut-être qu'il cherche à trouver des primitives en fonction du sinus intégral?

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Ericovitchi
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par Ericovitchi » 27 Juil 2009, 17:31

déjà un résultat connu est qu'on ne peut pas exprimer de primitive de sinx/x (même si on sait démontrer que l'intégrale de 0 à + l'infini vaut pi/2)

non plus puisque l'on peut se ramener à la précédente par une intégration par partie.

De proche en proche on doit pouvoir démontrer que l'on ne peut pas trouver de primitive exprimable simplement pour aucune de ces fonctions.

Maks
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par Maks » 27 Juil 2009, 17:42

Ericovitchi a écrit:un résultat connu est qu'on ne peut pas exprimer de primitive de sinx/x


Comment on montre ce genre de résultat ?

skilveg
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par skilveg » 27 Juil 2009, 20:36

Je crois que c'est de la théorie de Galois différentielle mais je ne m'avançerais pas trop...

[Edit: en fait ce n'est pas tout à fait vrai mais un peu quand même. Je viens de retrouver ce papier qui fait un peu le tour de la question:[CENTER]
http://www.fimfa.ens.fr/fimfa/IMG/File/exposes/2008/exposemaitrise2008_moussaoui_santharoubane.pdf
[/CENTER]

Il y a de la théorie de Galois dedans donc ce n'est pas forcément accessible à tout niveau... Il y a la preuve que n'admet pas de primitive élémentaire mais pas celle pour .]

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Ericovitchi
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par Ericovitchi » 27 Juil 2009, 21:13

Houla oui, impressionnant la théorie. A lire les longues soirées d'hiver.
C'est vrai que l'on ne trouve pas sin (x) / x.
Je n'avais jamais pensé que des mathématiciens avaient étudié la question des fonctions qui admettent des primitives explicites ou pas.
Très intéressant en tous les cas.

Maks
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par Maks » 27 Juil 2009, 21:24

Merci pour les infos ! Je regarde le document demain. :++:

xyz1975
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par xyz1975 » 28 Juil 2009, 14:45

Les primitives des fonctions et ne s'expriment pas à l'aide des fonctions élémentaires.

Nightmare
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par Nightmare » 28 Juil 2009, 14:57

xyz1975 a écrit:Les primitives des fonctions et ne s'expriment pas à l'aide des fonctions élémentaires.


Du moins, pas comme somme finie ! ;-)

Black Jack

par Black Jack » 28 Juil 2009, 15:07

xyz1975 a écrit:Les primitives des fonctions et ne s'expriment pas à l'aide des fonctions élémentaires.


C'est un peu plus compliqué que cela.

Elles ne peuvent pas s'exprimer par un nombre fini de combinaisons de fonctions élémentaires.

... Mais on peut facilement le faire via une série avec une infinité de termes.

En remarquant que le développement en série de Mac-Laurin de sin(x) est :



Il est immédiat de trouver des primitives de f(x) = sin(x)/x^n exprimées par une série avec une infinité de termes.

:zen:

xyz1975
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par xyz1975 » 28 Juil 2009, 15:25

Nightmare et Black Jack : Oui je sais mais c'est par ce que nous somme dans la rubrique "lycée" ils savent pas c'est quoi une série numérique...

egan
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par egan » 28 Juil 2009, 19:37

Black Jack, remarque très pertinente. :++:
Nightmare aussi. ;)

 

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