Diviseurs et limite

par **Nightmare** » 20 Aoû 2010, 15:09

Hello,

Je note

le nombre d'entiers i inférieurs à n tels que le reste de la division de n par i soit supérieur à

.

Calculer

:happy3:

par **benekire2** » 20 Aoû 2010, 16:24

Je m'y met , on va déjà conjecturé le résultat ... :zen:

par **benekire2** » 20 Aoû 2010, 16:53

Est-ce que on compte ceux qui sont égaux à i/2 ?

par **Nightmare** » 20 Aoû 2010, 17:13

Oui :happy3:

par **benekire2** » 20 Aoû 2010, 17:26

J'ai essayé pour 10 et 50 et je trouve approximativement 1/3 , je conjecture donc que cette suite converge vers 1/3 , est-ce bon ?

Sinon j'ai cherché un peu la preuve, mais bon je ne vois rien à l'horizon, il faut que je montre que

est bornée.

Une petite indic ? :we:

par **Nightmare** » 20 Aoû 2010, 18:18

Salut,

Non, ça ne converge pas vers 1/3. Je te laisse chercher, ce n'est pas facile, je reviendrai ce soir apporter un indice si besoin.

par **benekire2** » 20 Aoû 2010, 18:24

ok ok , t'en fais pas, a moins que je devienne une lumière, j'y serrai toujours ce soir :zen:

Cela dit, pour tuer le temps je vais prendre le cas n=100 ... je vais essayer de regarder "où se déposent les valeurs"

par **benekire2** » 20 Aoû 2010, 19:06

Tient c'est bizarre, je trouve qu'il y en a 31 qui marchent pour n=100 soit d_100/100=0.31 ....

Je veut bien l'indice :zen:

Salut!

par **Nightmare** » 20 Aoû 2010, 21:10

Une approximation du résultat attendu serait 0.3862...

Premier indice : Il faudrait pouvoir avoir une formule pour d(n). Pour cela, je te propose de partir simplement de la définition de la division Euclidienne :

Avec ceci, essaye de trouver une condition pour qu'un entier i vérifie l'hypothèse. Une fois ceci fait, la suite fera appel à l'intégration (cette partie sera difficilement rigoureusement justifiable niveau lycée, néanmoins, sans trop se préoccuper de la rigueur, on arrive facilement au résultat).

par **benekire2** » 20 Aoû 2010, 21:13

ok ok, je vais chercher une écriture de d_n ...

par **benekire2** » 20 Aoû 2010, 21:38

Euh :hein: Je cherche, mais j'ai pas bien beaucoup de "pistes" je ne vois pas comment je vais pouvoir caractériser notre reste,

par **Nightmare** » 20 Aoû 2010, 21:48

Par exemple, dire que le reste de la division de i par n est supérieur à i/2 peut s'écrire

, soit

Avec ça, tu devrais pouvoir trouver une formule pour d(n).

par **benekire2** » 20 Aoû 2010, 21:55

Ok, je vais y réfléchir demain matin, là je suis fatigué :zen:

par **benekire2** » 21 Aoû 2010, 10:07

Bonjour,

Déjà, il ne peut pas y avoir de formule en fonction de n, mais même une formule en fonction de la décomposition en produit de facteurs premiers je ne trouve vraiment rien, je suis -encore- bloqué. Comme dois-je faire ?

Merci,

par **Nightmare** » 21 Aoû 2010, 10:25

Eh bien, c'était presque terminé. Comme on a toujours

, on en déduit que :

par **benekire2** » 21 Aoû 2010, 10:30

Ah oui, c'est a dire que moi je m'attendait à un truc un peu miracle ...

Pour la suite je n'ai pas fait d'intégration encore (enfin juste niveau Term) mais ça ressemble soit à des sommes de riemann soit à des sommes de darboux ( je sais pas, je vais voir), enfin bref, je vais faire un dessin,

par **benekire2** » 21 Aoû 2010, 14:26

Re,

Décidément, j'arrive vraiment a rien sur cet exo :briques:

Cette somme ressemble a rien de ce que je connait, et t'as dit que ça se résolvait "assez facilement" par intégration.

Pourrait-tu me donner (encore...) une autre indication stp ?

par **Nightmare** » 21 Aoû 2010, 15:05

Tu l'as dit, c'est une somme de Riemann, sauf que la fonction a une singularité en une borne, c'est là où ça se complique un peu.

par **Doraki** » 21 Aoû 2010, 15:14

Il manque pas une partie entière dans la somme ?

par **Nightmare** » 21 Aoû 2010, 15:33

Doraki a écrit:Il manque pas une partie entière dans la somme ?

Si, bien entendu, c'est

:happy3:

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