Détermination d'une fonction

[Dinozzo13]

Bonjour, voilà je me demandais si à partir de la fonction suivante, , on peut déterminer .

[lapras]

salut
pose x=y/3+2/3 pour tout y réel.

[Dinozzo13]

Pour , , mais je ne vois pas à quoi ça nous avance :triste: .

[Ericovitchi]

Ben si, tu as ton f(x) maintenant :+:
(f(y) ou f(x) c'est pareil le nom de la variable est indifférent)

[Dinozzo13]

Ah ok, je vais essayer avec un autre exemple pour verifier si j'ai bien compris.
Je choisis la fonction définie sur par .
Je pose

[Skullkid]

Question supplémentaire : quel est le domaine de définition de f ?

[Dinozzo13]

f est définie si 1-y²+4+4iy>0 c'est-à-dire 1-(y+2i)²>0, (1-y-2i)(1+y+2i)>0
-y>2i-1, y-2i-1. Donc je disrais que =]-2i-1 ; -2i+1[

[Skullkid]

i c'est bien l'unité imaginaire ? Ça veut dire quoi y < 1 - 2i ?

[Dinozzo13]

bah alors là, je vois pas quoi te dire ^^

[Skullkid]

A la première question tu peux répondre oui ou non :)

Bon vu que dans tes calculs, (y + 2i)² = y² + 4iy - 4, i a bien l'air d'être l'unité imaginaire. Donc tu raisonnes sur des nombres complexes. Donc je te demande quel est cet ordre que définis sur les complexes, qui te permet de dire qu'un complexe y est plus petit que 1 - 2i.

3i est-il plus grand ou plus petit que 1 - 2i ?

[Dinozzo13]

oui c'est lunité imaginaire i.
Quand au reste je ne sais pas^^, je ne m'attendais pas a ce que tu me demande le domaine ^^

[Dinozzo13]

je dirai que 3i est plus grand que 1-2i car (3i)²=-9et (1-2i)(1+2i)=5

[Skullkid]

Quand au reste je ne sais pas^^, je ne m'attendais pas a ce que tu me demande le domaine ^^

C'est fait pour :p

En fait y a pas d'ordre sur (enfin, si, on peut en mettre, mais ils sont pas intéressants). Donc ça n'a pas de sens de dire qu'un complexe est inférieur à 1 - 2i.

Ta question de base, reformulée rigoureusement, est la suivante : soit une fonction f vérifiant : pour tout x de ]-1,1[ . Déterminer f.

Plus généralement, tu connais deux fonctions g et h définies sur le même domaine D, et tu veux déterminer une fonction f vérifiant . Dans ton exemple, f est la fonction inconnue, g(x) = x - 2i, et D = ]-1,1[.

Et tu as de la chance, car ta fonction g a de bonnes propriétés, notamment le fait qu'on puisse facilement exprimer x en fonction de g(x) : dans ton exemple, x = g(x) + 2i. A partir de cette relation entre x et g(x), tu peux faire tes calculs et aboutir à c'est-à-dire .

Ainsi tu as déterminé l'expression de f, mais reste à trouver son domaine. Pour ça, pas besoin de regarder l'expression de f ! Tu sais que est définie sur ]-1,1[. Donc f est définie sur l'ensemble des images des éléments de ]-1,1[ par g. Comme g(x) = x - 2i, le domaine de f est , qu'on peut noter ]-1-2i , 1-2i[, mais qui n'est certainement pas l'ensemble des complexes inférieurs à 1-2i et supérieurs à -1-2i.

Bref, c'est pour t'éviter toutes ces considérations sur les ensembles que l'exercice original, celui de ton premier post, utilise des fonctions réelles définies sur tout entier.

[Dinozzo13]

oui t'as rason, je prendrais moins de risques.
j'ai une question, si on avait eu, toujours dans ]-1;1[, , comment aurais-t-on procéder ?

[Dinozzo13]

Je pense qu'il faudrait isoler x mais comment faire ?

[Skullkid]

Là, ta fonction g, définie par g(x) = x^3 - x -2, n'est pas bijective sur ]-1,1[. C'est-à-dire que tu ne peux pas exprimer x en fonction de g(x), car plusieurs nombres peuvent avoir la même image par g. Donc c'est nettement plus dur, je ne crois pas qu'il y ait de méthode générale qui marche à tous les coups.

Ici en étudiant un peu la fonction, on peut remarquer que . Et comme g est bijective sur , on peut calculer sa réciproque G (la fonction qui à g(x) associe x) sur cet intervalle. On a alors une solution avec . Mais il y a d'autres solutions.

[marius1986]

Salut a toi
Tu peux poser g(x)=3x-2 et alors tu aura fog(x)=h(x) et moyennant les hypotèses sur le domaine de définition de f tu pourra avoir

[Dinozzo13]

c'est nettement plus dur

c'est ce que je me disais aussi :ptdr:

je ne crois pas qu'il y ait de méthode générale qui marche à tous les coups.

Dommage .

[Dinozzo13]

Salut a toi
Tu peux poser g(x)=3x-2 et alors tu aura fog(x)=h(x) et moyennant les hypotèses sur le domaine de définition de f tu pourra avoir

est la fonction réciproque de g ? c'est-à-dire ?