[Approfondissement TS] Dérivation

[Nightmare]

Si f' ne s'annule pas, il est clair que f ne peut être strictement monotone. (car f(a) et f'(a) sont alors de même signe !)

Correction :

Si f(a)f'(a) < 0, il est clair ....

[Nightmare]

Et l'hypothèse f'(0)=0 est aussi superflue. :D

[benekire2]

Et l'hypothèse f'(0)=0 est aussi superflue.

certes mais, au moins ça a le mérite d'être plus clair en ts

Voilà comment j'ai procédé:



On vérifie que h est continue sur [0;a], donc h atteint ses bornes.
si son maximum est égal a son minimum, alors c'est trivial.
si maintenant min différent de max :
il existe c tel que h(c)=min ( ou max peu importe on prend le minimum ici)

de plus h est dérivable sur [0;a] donc g'(c)=0
donc il existe c tel que

et donc comme a positif, f'(c) et f(a) sont de mêmes signes.
f'(c) et f'(a) sont donc de signe contraires. On peut donc applique le TVI à f' qui montre que l'équation f'(x)=0 admet forcément une solution.

voilà.

PS: Pas un peu compliqué pour la term cette démo?

[Nightmare]

On vérifie que h est continue sur [0;a], donc h atteint ses bornes.
si son maximum est égal a son minimum, alors c'est trivial.

De quelle genre de trivialité parle-t-on ?

A moins que j'aie raté quelque chose, c'est du Rolle et ce n'est surement pas trivial en TS !

[benekire2]

Edit: pour moi le fait que min=max traduit que h est constante donc que h'(c)=0

aussi, en terminale on est pas censé utilisé le fait que si f est continue sur [a;b] alors elle atteint ses bornes.

Enfin, si tu as une démonstration entièrement niveau lycée, je la veut bien

[Nightmare]

Je n'en vois pas pour la raison simple qu'en TS on ne connait quasiment aucun théorème d'analyse réelle :lol3:

[Skullkid]

Bah, celle par l'absurde proposée par Ben n'utilise que le TVI. Nulle trace d'accroissements finis, de Rolle ou d'image continue d'un segment.

[benekire2]

je pense que sur ce genre de problème ( s'il avait été posé en TS ) une réponse attendue aurait été :
f(a)f'(a)<0 => f(a)<0 et f'(a)>0 ou f(a)>0 et f'(a)<0
dans le premier cas:
f est croissante au voisinage de a mais comme elle est négative, elle a forcément dû être décroissante, donc la fonction a au moins eu un extremum .
Raisonnement similaire pour l'autre cas.

Bon je vous l'accorde c'est plus visuel que mathématique ( et pas très exacte) comme raisonnement.

[benekire2]

Bah, celle par l'absurde proposée par Ben n'utilise que le TVI. Nulle trace d'accroissements finis, de Rolle ou d'image continue d'un segment.

je l'avais déjà oublié celle-ci ...

[benekire2]

en fait si j'explique le fond de mon raisonnement ( sur ma démo réglo :id: ) :
en fait sur cet exo j'ai cherché désespérément une solution, et c'est "par hasard" que j'ai réussi en fait.
Je savais que l'exercice se résumais à montrer qu'il existe b tel que f'(b) et f(a) soient de même signe. Et j'ai assez rapidement cherché du coté des fonctions auxiliaires.

Par contre j'ai cherché a tâtons un moment ... et a un moment je me suis dit : " faut que j'arrive a trouver g tel que g(0)=g(a) et de se servir ( de rolle en fait ... ) de cette fonction pour prouver ce que je veut.

J'aurais donc une question : Es-ce une méthode connue ou est-ce simplement que j'ai eu de la chance de trouver la bonne ? Y a-t-il un moyen d'intuiter cette méthode ?

Merci.


PS: A la base j'avais poser le problème pour ceux qui avaient envie de s'entraîner en TS, mais du coup ça a dériver,

[Ben314]

... mais du coup ça a dérivé

En analyse, ça dérive souvent... :zen:

[benekire2]

tu te reconvertit en prof de français :ptdr: ? ( avec de l'humour en plus !!! )

[Nightmare]

La méthode dans ce genre d'exercice est souvent de faire un dessin.

[Ben314]

La méthode dans ce genre d'exercice est souvent de faire un dessin.

Il me semble que le dessin aide à voir si c'est vrai, mais si la question est "comment trouver une fonction auxiliaire", ça, je sais pas bien le voir sur un dessin...

Exemple d'exo. "avec fonction auxiliaire" :
f continue sur [0,a], dérivable sur [0,a[, f(0)=f'(0)=f(a)=0.
Montrer qu'une tangente (autre que celle en 0) à f passe par (0,0)

Là, je vois sur un dessin que c'est vrai, mais peut-on "voir" la fonction auxiliaire ?

[benekire2]

et en l'occurrence a -t-on un moyen efficace de trouver cette fonction auxiliaire a coup sur ?

[Ben314]

et en l'occurrence a -t-on un moyen efficace de trouver cette fonction auxiliaire a coup sur ?

En ce qui me concerne, j'en connais pas : j'écrit à quelle formule mathématique correspond la question, puis je la regarde dans le blanc des yeux en lui demandant "d'où tu sort toi" sur un ton agressif, souvent, elle me répond... :marteau:

[benekire2]

d'accord :doh: et là tu pourrais sur cet exemple me montrer le "cheminement" de ta pensée ?? Histoire que je puisse voir ...

Merci :id:

[Nightmare]

En ce qui me concerne, j'en connais pas : j'écrit à quelle formule mathématique correspond la question, puis je la regarde dans le blanc des yeux en lui demandant "d'où tu sort toi" sur un ton agressif, souvent, elle me répond... :marteau:

Oui c'est sûr, je parlais surtout des cas ou on doit montrer que f ou f' s'annulent comme ici :happy3:

Ceci étant, lorsqu'on doit faire appel à une fonction auxiliaire elle est souvent cachée dans le résultat qu'il faut décortiquer un peu.

Edit : Je n'ai pas cité le bon message de Ben :marteau:

[Nightmare]

Exemple d'exo. "avec fonction auxiliaire" :
f continue sur [0,a], dérivable sur [0,a[, f(0)=f'(0)=f(a)=0.
Montrer qu'une tangente (autre que celle en 0) à f passe par (0,0)

Là, je vois sur un dessin que c'est vrai, mais peut-on "voir" la fonction auxiliaire ?

Je citais évidemment ce message de ta part Ben :happy3:

Et tu me connais, je cherche quand même une raison graphique à ce résultat pour te donner tort ! (j'y arriverai un jour )

[benekire2]

Je citais évidemment ce message de ta part Ben :happy3:

Et tu me connais, je cherche quand même une raison graphique à ce résultat pour te donner tort ! (j'y arriverai un jour )

si tu y arrive ... chapeau