Construire une rampe (Derivation)

par **Chloeee** » 21 Fév 2012, 16:53

Bonjour à tous !!

J'ai un DM à faire lors de mes vacances, et je suis bloqué dedans :S

Voici l'exercice :Une usine de produits chimiques dangereux souhaite faire construire une rampe inclinée en pente douce permettant à des chariots de franchir un dénivelé de 1m entre le sol et un quai.
Pour d'évidentes raisons de sécurité, cette rampe devra être tangente au sol au point A et tangente en B au niveau du sol du quai.
O est le projeté orthogonal de B sur le sol. Pour faciliter votre étude, on exprimera les coordonnées des points et les équations des courbes dans le repère orthonormal direct (O , C , B).

Dans un premier projet, on prévoit une emprise au sol de 2m, c'est à dire: OA = 2
1) Une rampe rectiligne peut-elle convenir? Pourquoi?
2) Une rampe formée d'un arc de parabole peut-elle convenir? Pourquoi?
3) Une rampe formée d'un arc de cercle peut-elle convenir? Pourquoi?
4) On décide de donner à la rampe un profil d'équation :
y = ax^3 + bx² + cx + d
Déterminer les réels a, b, c et d donnant la solution du problème. Quelle est la pente maximum de la rampe? En quel point l'obtient-on?

Mes réponses :

1) Non, elle ne conviendrait pas car la droite passant par A et B a pour coefficient directeur -0.5. Les dérivées en 0 ( abcisse de B ) et 2 (abcisse de A ) ne seraient donc pas nul.

2)et 3) Non car il faudrait que deux points est une dérivée nul, ce qui est impossible pour une parabole comme pour un arc de cercle.

4) C'est à cette question que je bloque ... J'ai juste dis que :
Pour la parabole passant par B, on a :
f(x)=ax²+bx+c
f(0)=1=a*0+b*0+c Donc c=0

Ensuite, comme B est le sommet, la dérivée doit être nulle soit :
f'(0)=0
a*2*0+b=0
b=0

j'aimerais donc de l'aide pour pouvoir écrire ces deux équations :)
Merci d'avance !

par **Manny06** » 21 Fév 2012, 18:56

Chloeee a écrit:Bonjour à tous !!

J'ai un DM à faire lors de mes vacances, et je suis bloqué dedans :S

Voici l'exercice :Une usine de produits chimiques dangereux souhaite faire construire une rampe inclinée en pente douce permettant à des chariots de franchir un dénivelé de 1m entre le sol et un quai.
Pour d'évidentes raisons de sécurité, cette rampe devra être tangente au sol au point A et tangente en B au niveau du sol du quai.
O est le projeté orthogonal de B sur le sol. Pour faciliter votre étude, on exprimera les coordonnées des points et les équations des courbes dans le repère orthonormal direct (O , C , B).

Dans un premier projet, on prévoit une emprise au sol de 2m, c'est à dire: OA = 2
1) Une rampe rectiligne peut-elle convenir? Pourquoi?
2) Une rampe formée d'un arc de parabole peut-elle convenir? Pourquoi?
3) Une rampe formée d'un arc de cercle peut-elle convenir? Pourquoi?
4) On décide de donner à la rampe un profil d'équation :
y = ax^3 + bx² + cx + d
Déterminer les réels a, b, c et d donnant la solution du problème. Quelle est la pente maximum de la rampe? En quel point l'obtient-on?

Mes réponses :

1) Non, elle ne conviendrait pas car la droite passant par A et B a pour coefficient directeur -0.5. Les dérivées en 0 ( abcisse de B ) et 2 (abcisse de A ) ne seraient donc pas nul.

2)et 3) Non car il faudrait que deux points est une dérivée nul, ce qui est impossible pour une parabole comme pour un arc de cercle.

4) C'est à cette question que je bloque ... J'ai juste dis que :
Pour la parabole passant par B, on a :
f(x)=ax²+bx+c
f(0)=1=a*0+b*0+c Donc c=0

Ensuite, comme B est le sommet, la dérivée doit être nulle soit :
f'(0)=0
a*2*0+b=0
b=0

j'aimerais donc de l'aide pour pouvoir écrire ces deux équations
Merci d'avance !

tu n'as pas bien lu le texte
l'equation est f(x)=ax³+bx²+cx+d
elle passe par B f(0)=..
la tangente en B est horizontale f'(0)=......
elle passe par A f(2)=......
la tangente en A est horizontale f'(2)=....
complète ces 4 équations
tu obtiendras un système pour determiner a,b,c,d

par **Chloeee** » 21 Fév 2012, 19:03

Manny06 a écrit:tu n'as pas bien lu le texte
l'equation est f(x)=ax³+bx²+cx+d
elle passe par B f(0)=..
la tangente en B est horizontale f'(0)=......
elle passe par A f(2)=......
la tangente en A est horizontale f'(2)=....
complète ces 4 équations
tu obtiendras un système pour determiner a,b,c,d

Oui j'ai réussi à faire la question 5 à partir de ces infos, j'ai résolu le système en trouvant a=0.25 , b=-0.75, c=0 et d=1

Je bloque plutot a la question 4 :S

par **Manny06** » 21 Fév 2012, 19:12

Chloeee a écrit:Oui j'ai réussi à faire la question 5 à partir de ces infos, j'ai résolu le système en trouvant a=0.25 , b=-0.75, c=0 et d=1
Je bloque plutot a la question 4 :S

c'est bien pour ces réponses

la pente de la rampe correspond à| f'(x) | f'(x) est un polynome du second degré
tu trouveras facilement son extremum en l'ecrivant sous forme canonique

par **Chloeee** » 21 Fév 2012, 19:15

Manny06 a écrit:c'est bien pour ces réponses

la pente de la rampe correspond à f'(x) qui est un polynome du second degré
tu trouveras facilement son maximum en l'ecrivant sous forme canonique

Ah oui merci, je vais essayer !
C'est vrai que j'avais oublier celle ci , merci beaucoup !

par **Manny06** » 21 Fév 2012, 19:18

Chloeee a écrit:Ah oui merci, je vais essayer !
C'est vrai que j'avais oublier celle ci , merci beaucoup !

j'ai corrigé car f'(x) est négative donc pour la pente on prend la valeur absolue

par **Chloeee** » 21 Fév 2012, 19:19

Manny06 a écrit:c'est bien pour ces réponses

la pente de la rampe correspond à f'(x) qui est un polynome du second degré
tu trouveras facilement son maximum en l'ecrivant sous forme canonique

J'ai fait la forme canonique, je trouve donc :

f(x)=a(x-2)²+0
a(x²-4x+4)
ax²-4ax+4a

Par contre, pour trouver a, je pense qu'il faut mettre en relation les deux équations , j'ai donc trouver :

Pour la parabole de sommet B : y=ax²+1
Pour la parabole de sommet A : y=ax²-4ax+4a

par **Chloeee** » 21 Fév 2012, 19:22

Manny06 a écrit:j'ai corrigé car f'(x) est négative donc pour la pente on prend la valeur absolue

Ah oui dans mon exercice il est écrit que la pente de la rampe en un point est la valeur absolue du coeff directeur de la tangente à la courbe en ce point

par contre je ne sais pas comment calculer a pour la question 4, est ce que ce nombre est le meme pour les deux paraboles ?

par **Chloeee** » 21 Fév 2012, 19:48

Je viens de réaliser que je me suis trompé en recopiant mon exercice, j'ai oublié la question 4 en fait, je la reposte ici :

4) Montrer qu'on peut trouver une solution formée de deux arcs de parabole de sommets respectifs A et B se raccordant en étant tangents en un point I d'abscisse 1. Donner les équations des deux paraboles trouvées.
Vérifier que la pente maximum de cette rampe est obtenue au point I. Quelle est cette pente?

5) On décide de donner à la rampe un profil d'équation :
y = ax3 + bx² + cx + d
Déterminer les réels a, b, c et d donnant la solution du problème. Quelle est la pente maximum de la rampe? En quel point l'obtient-on?

Encore désolée :S

par **Chloeee** » 21 Fév 2012, 21:59

J'ai donc réussi la question 4 ( celle du post précédent, j'avais oublier de la copier avant), et j'ai donc trouver pour équations : y=-0.5x²+1 et y=0.5x²-2x+2
Par contre je ne comprend pas comment je peux prouver que la pente maximum est atteinte au point I, quand x=1, car la rampe est toujours décroissante donc je ne trouve ni de maximum ni de minimum :S
Merci beaucoup :)

par **Dlzlogic** » 21 Fév 2012, 22:15

Chloeee a écrit:J'ai donc réussi la question 4 ( celle du post précédent, j'avais oublier de la copier avant), et j'ai donc trouver pour équations : y=-0.5x²+1 et y=0.5x²-2x+2
Par contre je ne comprend pas comment je peux prouver que la pente maximum est atteinte au point I, quand x=1, car la rampe est toujours décroissante donc je ne trouve ni de maximum ni de minimum :S
Merci beaucoup

Je pense que si vous faites un dessin, tout va s'éclairer.
Le sol est horizontal (pente 0) le quai est horizontal (pente 0). La rampe monte de 0 à pmax, puis la pente devient nulle, donc, elle passe par un maximum.

par **Manny06** » 21 Fév 2012, 22:35

Dlzlogic a écrit:Je pense que si vous faites un dessin, tout va s'éclairer.
Le sol est horizontal (pente 0) le quai est horizontal (pente 0). La rampe monte de 0 à pmax, puis la pente devient nulle, donc, elle passe par un maximum.

as-tu oublié une question?
je ne vois pas de paraboles dans la question 4)

par **Manny06** » 21 Fév 2012, 22:41

Dlzlogic a écrit:Je pense que si vous faites un dessin, tout va s'éclairer.
Le sol est horizontal (pente 0) le quai est horizontal (pente 0). La rampe monte de 0 à pmax, puis la pente devient nulle, donc, elle passe par un maximum.

calcule la derivée des 2 fonctions et montre que |f'(x)|<=1

par **Chloeee** » 22 Fév 2012, 13:52

Dlzlogic a écrit:Je pense que si vous faites un dessin, tout va s'éclairer.
Le sol est horizontal (pente 0) le quai est horizontal (pente 0). La rampe monte de 0 à pmax, puis la pente devient nulle, donc, elle passe par un maximum.

Ah oui d'accord merci je visualise mieux comme ça

Mais par contre je ne sais pas comment faire pour trouver ce maximum :S

par **Chloeee** » 22 Fév 2012, 13:57

Manny06 a écrit:calcule la derivée des 2 fonctions et montre que |f'(x)|<=1

Ok merci

Alors pour les dérivés des deux fonctions je trouve f'(x)=-x et g'(x)=x-2
Mais après je n'arrive pas à prouver que |f'(x)|<=1 :S
Merci beaucoup !

par **Dlzlogic** » 22 Fév 2012, 14:01

Chloeee a écrit:Ah oui d'accord merci je visualise mieux comme ça
Mais par contre je ne sais pas comment faire pour trouver ce maximum :S

Petit aveu, je n'ai pas fait l'exercice.
Puisque cette rampe d'accès est régulière, les deux branches de parabole sont tangentes en un point. En ce point on peut tracer une droite tangente aux deux paraboles. C'est en ce point que la pente est la plus forte. Il est facile de calculer le pente de la droite, qui sera la même que la pente des tangentes aux paraboles en ce point, donc la pente maximum.

par **Chloeee** » 22 Fév 2012, 14:05

Dlzlogic a écrit:Petit aveu, je n'ai pas fait l'exercice.
Puisque cette rampe d'accès est régulière, les deux branches de parabole sont tangentes en un point. En ce point on peut tracer une droite tangente aux deux paraboles. C'est en ce point que la pente est la plus forte. Il est facile de calculer le pente de la droite, qui sera la même que la pente des tangentes aux paraboles en ce point, donc la pente maximum.

Ok d'accord donc comme les dérivées sont f'(x)=-x et g'(x)=x-2, la pente est donc de 1 ( il faut la valeur absolue ) au point d'abcsisse 1.
Mais je ne comprend pas comment tu as réussi à dire que la pente atteint forcement son maximum au point d'abcisse 1 :S

par **Dlzlogic** » 22 Fév 2012, 14:20

Chloeee a écrit:Ok d'accord donc comme les dérivées sont f'(x)=-x et g'(x)=x-2, la pente est donc de 1 ( il faut la valeur absolue ) au point d'abcsisse 1.
Mais je ne comprend pas comment tu as réussi à dire que la pente atteint forcement son maximum au point d'abcisse 1 :S

La route ET le quai sont horizontaux. Le sens de variation de la pente de la rampe est forcément croissant, puis décroissant, puisque on part de p=0 pour arriver à p=0.
Je n'ai pas tout lu (je dirai même que j'ai rien fais [Oh le paresseux]) mais le plus court chemin implique d'il y a un centre de symétrie.

Petite information hors-sujet : toutes les routes ont des pentes et des rampes. Ces droites sont reliées par des raccordements circulaires. Mais comme ces pentes et rampes sont très faibles, toujours inférieures à 10%, le passage entre une droite et un arc de cercle est insensible.
Il n'en est pas de même pour le trajet vu en plan. Là il y a des courbes progressives.
Pour les rampes très courtes, comme le présent exercice, on utilise effectivement des raccordements progressifs.

par **Chloeee** » 22 Fév 2012, 14:24

Dlzlogic a écrit:La route ET le quai sont horizontaux. Le sens de variation de la pente de la rampe est forcément croissant, puis décroissant, puisque on part de p=0 pour arriver à p=0.
Je n'ai pas tout lu (je dirai même que j'ai rien fais [Oh le paresseux]) mais le plus court chemin implique d'il y a un centre de symétrie.

Petite information hors-sujet : toutes les routes ont des pentes et des rampes. Ces droites sont reliées par des raccordements circulaires. Mais comme ces pentes et rampes sont très faibles, toujours inférieures à 10%, le passage entre une droite et un arc de cercle est insensible.
Il n'en est pas de même pour le trajet vu en plan. Là il y a des courbes progressives.
Pour les rampes très courtes, comme le présent exercice, on utilise effectivement des raccordements progressifs.

Ah d'accord donc en fait, pour la pente : f(x)=0 si x=0 et si x=2. Donc pour trouver le point du sommet de la pente, on doit faire (0+2)/2=1. Donc le maximum de la pente est bien atteint en 1 . C'est ça ?

Et ensuite je calcule f'(1)=-1, de valeur absolue 1 .
Merci beaucoup pour toutes tes explications !!

par **Dlzlogic** » 22 Fév 2012, 14:38

Chloeee a écrit:Ah d'accord donc en fait, pour la pente : f(x)=0 si x=0 et si x=2. Donc pour trouver le point du sommet de la pente, on doit faire (0+2)/2=1. Donc le maximum de la pente est bien atteint en 1 . C'est ça ?
Et ensuite je calcule f'(1)=-1, de valeur absolue 1 .
Merci beaucoup pour toutes tes explications !!

Attention, tout de même. En math, il y a beaucoup d'intuition, mais dans tous les cas il faut pouvoir le démontrer. Un graphique aide à l'intuition, mais la division par 2 doit être démontrée. Comme je n'ai pas fait l'exercice, juste lu un peu rapidement, j'ai fait marcher mon intuition, mais il ne faut pas en tirer des conclusions disproportionnées.
Par exemple, si la route ou le quai avait été légèrement en pente, ça ne marchait plus comme ça.

Construire une rampe (Derivation)

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