[Approfondissement TS] Dérivation

[benekire2]

Bonsoir, je propose a ceux que ça intéresse un petit exercice sympathique:
a un réel positif, f définie sur [0;a] et dérivable sur cet intervalle.
-f' est continue
-f(0)=f'(0)=0
-f(a)*f'(a)<0

f' s'annule-elle au moins une fois sur ]0;a[ ?

Justifier précisément le raisonnement.

Voilà :zen:

[Ben314]

(RE)(RE)(RE)Bonjour,
J'ai le droit de jouer ?
(d'abord pourquoi t'es pas en train de faire du découpage de rectangles toi ? :zen: )

[benekire2]

oui si tu veut tu peut jouer ( rien ne t'en enpèche )
pour les triangles, j'ai même pas regarder depuis tout à l'heure ... ( peut-être suis-je flemmard au fond ...)

[Ben314]

Le p.b. c'est les règles...
A t'on le droit d'utiliser le fait qu'une fonction continue (donc en particulier une fonction dérivable) admet un maximum et un minimum sur l'intervalle [0,1] ?
Et le fait que, si le max (ou le min) n'est pas au bord de l'intervalle alors la dérivée en ce point est nulle ?

[Nightmare]

Salut,

l'hypothèse f' continue est superflue non?

[benekire2]

et bien on n'est pas censé savoir en TS que si une fonction est continue définie sur [a;b] elle atteint ses bornes ... mais ici on est ( je crois) obligé de l'admettre.

Pour ta deuxième question, on va dire oui également ( parce que en fait j'ai pas fait autrement)

Perso j'ai posé une fonction auxiliaire ...

[benekire2]

Salut,

l'hypothèse f' continue est superflue non?

Je dois surement me tromper mais je répondrais bien :
une fonction peut être dérivable dur I sans que sa dérivée soit nécessairement continue .

Pour l'exercice j'avais réfléchis a une preuve TRES évidente mais je sais pas si elle est complètement exacte ( même si tout à l'air d'aller) en fait je la trouve trop simple.

[Ben314]

Salut,
l'hypothèse f' continue est superflue non?

En tout cas, c'est aussi mon opinion...

Pour benekire, toi qui aime les limites, étudie moi la fonction définie par :
f(x)=x²sin(1/x) pour x non nul et f(0)=0

Continue en 0 ?
Dérivable en 0 ?
Dérivée continue en 0 ?

EDIT : pour ton "autre" preuve, tu utilise la continuité de f' pour en déduire que, si elle ne s'annulait pas, elle serait de signe constant donc...
?

[benekire2]

En tout cas, c'est aussi mon opinion...

Pour benekire, toi qui aime les limites, étudie moi la fonction définie par :
f(x)=x²sin(1/x) pour x non nul et f(0)=0

Continue en 0 ?
Dérivable en 0 ?
Dérivée continue en 0 ?

J'ai pas d'attirance particulière pour les limites ...

Je connais cette fonction et elle est dérivable sur R, en revanche sa dérivée ne l'est pas . ( un exemple typique qui montre que pour calculer un nombre dérivé, cela ne sert a rien de calculer la limite de la fonction dérivée)

[Ben314]

Un exemple typique qui montre que pour calculer un nombre dérivé, cela ne sert a rien de calculer la limite de la fonction dérivée

Pas tout à fait vrai... :
1) Si f'(xo) existe ET que la limite quand x tend vers xo par la droite (par exemple) existe, alors cette limite EST f'(xo)...

2) si f'(x) existe dans un intervalle ouvert contenant xo, alors il existe une suite xn tendant vers xo telle que la suite f'(xn) tende vers f'(xo)...

[benekire2]

Mon autre preuve, celle basique consiste a dire:
soit : f(a)<0 et f'(a)>0 => fonction décroissante puis croissante, donc extremum, donc f'(c)=0
ou : f(a)>0 et f'(a)<0 => pareil.

Mais tout cela se base quand même sur un raisonnement qui n'est pas hyper rigoureux, par contre l'autre preuve tient la route

[benekire2]

Pas tout à fait vrai... si f'(xo) existe ET que la limite quand x tend vers xo par la droite (par exemple) existe, alors cette limite EST f'(xo)...

oui enfin dans l'esprit de ce que je voulais dire c'était que on peut pas faire une généralité du calcul de limite de la dérivée.
Bien sur pour la majorité des fonctions qu'on étudie au lycée ca marche:
f(x)=x²
f'(x)=2x

f'(2)=4 et lim x-->2 f'(x)=4

[Nightmare]

Je dois surement me tromper mais je répondrais bien :
une fonction peut être dérivable dur I sans que sa dérivée soit nécessairement continue .

Certes, mais une fonction peut vérifier le TVI sans être continue :lol3:

[benekire2]

Certes, mais une fonction peut vérifier le TVI sans être continue :lol3:

c'est vrai, et comme le but est d'appliquer le TVI a notre fonction auxiliaire, j'y avais pas penser :triste:
enfin on va dire qu'en TS le TVI on le connait que sur les fonctions continues donc on a besoin ( pour un minimum de clarté pour nous pauvres lycéens ) de l'hypothèse ...

[Ben314]

Certes, mais une fonction peut vérifier le TVI sans être continue :lol3:

Ce qui permet, en particulier de démontrer les deux proposition de mon post #10 :zen:

[benekire2]

est-ce que ma solution simpliste tient ?

[Ben314]

Soit : f(a)0 => fonction décroissante puis croissante, donc extremum, donc f'(c)=0
ou : f(a)>0 et f'(a) pareil.

Si c'est de celle là dont tu parle, ça tient pas trop... :
Des hypothèse f(a)0 on ne peut pas déduire que f est décroissante puis croissante, la dérivée peut trés bien changer 36000 fois de signe (et même une infinité de fois...)

Un raisonement utilisant un peu moins d'outil (mais utilisant la continuité de f' et le théorème des valeurs intermédiaire) pourrait être un raisonement par l'absurde :
Si f' ne s'annule pas sur ]0,a[, comme elle est continue, on sait que...

[benekire2]

Si c'est de celle là dont tu parle, ça tient pas trop... :
Des hypothèse f(a)0 on ne peut pas déduire que f est décroissante puis croissante, la dérivée peut trés bien changer 36000 fois de signe (et même une infinité de fois...)

Un raisonement utilisant un peu moins d'outil (mais utilisant la continuité de f' et le théorème des valeurs intermédiaire) pourrait être un raisonement par l'absurde :
Si f' ne s'annule pas sur ]0,a[, comme elle est continue, on sait que...

certes, mais elle s'anule au moins une fois dans tout les cas...
De toute les manières mon autre raisonnement, plus complexe tient parfaitement.

Je laisse chercher ceux qui veulent chercher.

[benekire2]

Un raisonement utilisant un peu moins d'outil (mais utilisant la continuité de f' et le théorème des valeurs intermédiaire) pourrait être un raisonement par l'absurde :
Si f' ne s'annule pas sur ]0,a[, comme elle est continue, on sait que...

Effectivement là on arrive vite à une contradiction, qui marche bien.

[Nightmare]

Si f' ne s'annule pas, il est clair que f ne peut être strictement monotone. (car f(a) et f'(a) sont alors de même signe !)

Sauf que f est continue et le théorème des accroissements finis (qui ne demande pas que f' soit continue !) assure que si f' ne s'annule pas sur ]0,a[, f est alors injective. Continuité + injectivité => stricte monotonie