[Approfondissement TS] Dérivation

[Nightmare]

Bon en fait je trouve qu'on voit bien la fonction auxiliaire. On trace un semblant de courbe qui vérifie les hypothèses et toutes les droites partant de l'origine et passant par des points de f. Le but de montrer qu'une de ces droites est une tangente à la courbe. Mais toutes ces droites ont pour coef directeur un f(c)/c et pour être tangente, il faut que ce soit égal à f'(c). Ceci nous invite grandement à considérer la fonction non?

On la prolonge en 0 avec g(0)=0 et on applique Rolle.

[Ben314]

Et tu me connais, je cherche quand même une raison graphique à ce résultat pour te donner tort ! (j'y arriverai un jour )

Je n'en doute pas... :++:

MAIS ton dernier post ne me convainc qu'à moitié : tes considérations géométriques montrent que l'on doit prouver l'existence d'un c tel que f'(c)=f(c)/c (un calcul bourin de la tangente en un c quelconque conduit à la même constatation)
Sauf que dans ton expliquation, je ne vois que moyennement le lien avec le fait qu'il faille dériver la fonction auxilliaire g(x)=f(x)/x...

Je pense que, pour que le coté "je vois sur le dessin jusqu'au bout" soit parfaitement convaicant, il faudrait rajouter :
"parmi les droites passant par (0,0) et (x,f(x)), cherchons celles de pente maximale/minimale dont le dessin me permet de conjecturer que ce seront des tangentes. Etudions donc la dérivée de g(x)=f(x)/x pour déterminer les extrémums"

Conclusion, faut que je trouve un autre exo plus vicieux....

[benekire2]

bonjour tout le monde :we:

J'y ai réfléchis, alors bon avec la fonction auxiliaire c'est tout bête un fois qu'on l'a, on étudie la limite de g en 0 puis comme la limite est finie, et vaut 0 on applique rolle et on conclus.

Cependant, hier je n'avais pas trouvé cette fonction auxiliaire, en fait, j'étais simplement arriver au fait qu'il faille prouver qu'un réel c existe tel que :
f'(c)=f(c)/c

et ça m'ai venu à l'idée de poser g(x)=f(x)/x sauf que j'ai conclus trop brievement que on ne pouvait pas en tirer grand chose .. parce que je n'ai pas eu l'idée de dérivé cette fonction auxiliaire.

Alors je voulais savoir si sur cet exercice ( en particulier) il y avait des moyens d'intuiter qu'il faille dérivé cette fontion? Ou alors c'est l'expérience qui fait que on se dit tient c'est bizarre f(x)/x ... je la dérive j'ai g'(x)=(xf'(x)-f(x))/x ... prouvons qu'on a forcément b tel que g'(b)=0 ??

Merci :++:

[Ben314]

Personellement, je commence par écrire que ce qu'il faut montrer c'est qu'il existe un c tel que f(c)-cf'(c)=0 (sans fractions et avec =0) puis je me demande d'où peut sortir l'expression f(c)-cf'(c)...

Pour montrer que dans cet exercice (j'ai pas dit mon dernier mot... :zen:) Nightmare a raison, tu peut regarder un dessin quelconque :


Tu imagine toutes les droites passant par (0,0) et (x,f(x)) et tu te dit que celle de plus forte/plus faible pente devrait être une solution.
Comme la pente d'une telle droite est f(x)/x et que pour chercher le max/min d'une fonction, il faut regarder où la dérivée s'annule, cela te conduit assez naturellement à dériver la fonction g(x)=f(x)/x...

[benekire2]

oui si on considère qu'on a un minimum d'expérience en math .. ce qui n'est pas encore mon cas.

Et puis ca me serait pas venu a l'esprit de dire que la plus forte pente serait solution ..

En fait, il faut simplement de l'entrainement je pense,

[Nightmare]

Souvent quand je n'arrive pas à voir pourquoi ça marche, je regarde pourquoi ça ne marcherait pas dans d'autres conditions et je commence un peu à voir pourquoi ça marche :lol3:

[benekire2]

c'est à dire sur cet exemple ? En fait je "vois" le raisonnement graphique, mais j'arrive pas a comprendre pourquoi c'est nécessairement celle qui à la pente maximale, enfin j'aurais un raisonnement bancale du genre ( sans preuve ...):
la droite de pente f(x)/x qui passe par (0;0) coupe la courbe et quand on prend celle qui a la pente maximale elle touche toujours la courbe, mais cette fois ci il y en a pas " après " et du coup elle est tangente i.e solution .

Évidemment c'est pas bien comme raisonnement, mais bon au pire c'est juste pour intuiter g'(x) ...

[Ben314]

Attention :

...mais j'arrive pas a comprendre pourquoi c'est nécessairement celle qui à la pente maximale...

ce n'est pas nécessaire, c'est suffisant (sur mon dessin, il y a 6 autres solutions...)

...c'est juste pour intuiter qu'il faut calculer g'(x) ...

Je pense que c'est seulement ça qu'il faut déduire du dessin : on devrait trouver une "vrai preuve" en dérivant g.

[benekire2]

ouais j'avais remarquer qu'il y avaut pleins d'autres solutions sur ton dessin. On a donc une condition suffisante que l'on exploite pour la "vraie" preuve, et en fait le visuel ici rempli bien son rôle : l'interface ...

Ben merci beaucou Ben :id:

[benekire2]

je rouvre le sujet, pour le premier exercice du topic ...

En ce qui concerne ma méthode où je pose
Je suppose que beaucoup, qui ont BEAUCOUP plus d'éxpérience que moi, aura intuiter cette fonction auxiliaire. Cependant est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer concrètement comment lui en est arrivé a poser cette fonction ?

Merci!!

PS: Pour l'exo de ben j'avais bien compris, mais pour celui-ci bien que je l'ai trouvé (miracle inside?) je suis pas sûr de le retrouvé sur d'autres exos du genre...