Dérivation [TS]

[bunny]

Bonjour à tous !

Je bloque sur un exercice où l'on me demande de déterminer à l'aide d'un raisonnement par récurrence une formule explicite la dérivée n ième de f avec .

Je n'ai vraiment aucune idée.
J'ai commencé à calculer plusieurs dérivées successives de f :







etc...

J'ai vu ce qu'était le raisonnement par récurrence mais je m'en suis toujours servi pour prouver des égalités ou inégalités.
Je n'ai vraiment aucune idée... Quelle proposition (Pn) dois-je poser dans mon raisonnement afin que je puisse faire l'initialisation, l'hérédité et la conclusion ?

Merci d'avance de vos réponses.
Bonne après-midi !

[MacManus]

Salut !

Tu peux dans un premier temps simplifier les expressions de tes dérivées (pour les x) : par exemple et tu fais de même pour les autres dérivées.

Ensuite, tu peux conjecturer (faire l'hypothèse) une propriété au rang n, ca ne devrait pas être trop compliqué étant données les expressions de tes premières dérivées. Il y aura du factoriel en tout cas. De plus, tu peux remarquer que le signe alterne à chaque fois (+ ou -)

[bunny]

Re !

Pour passer d'une dérivée à une autre (quand elles sont simplifiées), on multiplie par (-1) puis par (-2), (-3), (-4), etc... au numérateur.
Quant au dénominateur, on remarque que l'exposant au x augmente chaque fois de 1, c'est-à-dire x^2 puis x^3 puis x^4 etc...

Mais pour le rang n, je n'y arrive pas !
Je sais qu'au dénominateur il y aura sans doute du x^(n+1) mais c'est surtout le numérateur que je n'arrive pas exprimer.
En fait, je pense qu'il faut s'aider de l'expression précédente pour déterminer la suivante.

Voilà. As-tu une idée pour m'aider ?

Un grand merci d'avance.

[MacManus]

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Tu remarques qu'au numérateur, on obtient successivement (sans se préoccuper des signes + ou -) : 1 puis 2 puis 6 puis 24 puis 120 .... cette suite ne te dis rien ??

D'autre part, pas besoin de multiplier par (-1), puis par(-2) etc, il suffit de considérer l'expression pour avoir une alternance des signes, selon que n est pair ou impair (mais justment n est un entier naturel)

Effectivement, tu as eu l'intuition logique de dire que la puissance de x augmente de 1 à chaque fois, donc c'est réglé pour le dénominateur !

Pour le numérateur, tu y es presque...

Tu dois pouvoir me donner l'expression générale de la dérivée nième :id:

[bunny]

J'ai vraiment galéré pour la trouver mais ça me semble correct.
Qu'en penses-tu ?

Merci pour ta réponse.

[MacManus]

Impécable ! :++:

initialisation pour n=0, c'est ok (tu obtiens f(x)=1/x)
héréditée tu suppose cette propriété vérifiée au rang n. Est-elle encore vraie au rang n+1? il faut donc montrer que =>
puis tu conclus

[bunny]

OK super !
Je pense pouvoir m'en sortir.
Merci pour tout :++:

Passe une bonne soirée !

A+

[bunny]

Je ne pensais pas reposter mais n'étant pas trop sûr de moi, je décide de mettre ce que j'ai fais pour que l'on me dise si ce que j'ai fais est cohérent.


On pose la proposition :

Initialisation :

Pour n = 0, =
Donc la proposition est vérifiée au rang n = 0.

Hérédité :

Supposons que la proposition soit vraie pour un certain entier , c'est-à-dire que .
Montrons que la proposition est vraie, c'est-à-dire .

Pour procéder à l'hérédité, j'ai fais la chose suivante :
J'ai dérivé l'expression qui est associée à la proposition .

J'ai posé :
*
(puisque le numérateur est supposé être une constante)
*

Notre dérivée au rang k+1 devient donc :

=
=
=
=
=
=
=

Conclusion :
D'après le principe de récurrence, la proposotion est vraie


Voilà, je ne suis pas sûr de mon coup.
Un très grand merci pour vos réponses.

Bonne journée à tous.

[MacManus]

Salut

Ba écoute ça me paraît très bien ! tes calculs sont corrects.
OK

Ah oui je voulais juste dire que, comme tu le dis, puisque ton numérateur est constant, tu peux dériver uniquement la fonction c'est sans doute un peu plus rapide.

[bunny]

Oui, merci pour ton conseil, c'est effectivement plus rapide mais sur le coup je n'y avais pas pensé.

En tout cas, merci de m'avoir aider jusqu'ici.
Merci pour tout...

[MacManus]

De rien :)