La dérivation

[clèves]

Bonjour à tous,

j'ai bientôt un examen sur la dérivation , et je me posais la question suivante: quel est le lien entre la tangente et la dérivée?
J'applique machinalement mes formules mais je ne saurais pas expliquer l'origine de cette notion.
Je sais bien par exemple que la dérivée correspond au coefficient directeur mais d'une part je ne vois pas le lien et d'autre part je voudrai savoir à quoi sert le taux d'accroissement.


Voila, merci de m'aider au plus vite

Clèves

[Sake]

Salut,

On parle de tangente à une courbe, mais de dérivée d'une fonction. La tangente (à la courbe représentative d'une fonction en un point donné blablabla...) a une nature géométrique, car c'est la droite qui passe par le-dit point et dont le coefficient directeur est la dérivée de la-dite fonction pour peu qu'elle soit dérivable à droite et à gauche en ce point donné et que sa dérivée y est continue.
On peut aussi parler de demi-tangente si la dérivée n'est pas continue en ce point. Alors il peut exister deux valeurs différentes de la dérivée de part et d'autre de ce point, d'où deux demi-tangentes (une à droite, une à gauche). Mais je pense que ce dernier point est hors-programme pour toi.

Si tu as compris la notion de dérivée (définie en chaque point comme étant la limite du taux d'accroissement de la fonction), alors ce que je viens de te dire devrait te paraître très naturel.

PS - Edit : Il est très sage de venir poser cette question, car la Première est une classe charnière. Jusqu'à présent, on a dû t'enseigner les maths en te demandant d'appliquer machinalement certaines formules sans vraiment connaître leur signification (foutue EN). Cette année, c'est le moment pour toi de prendre le contrôle de ton apprentissage des maths.

En vérité, la notion de dérivée semble coïncider avec celle de coefficient directeur, mais détrompe-toi ce n'est pas du tout la même chose. Le raccourci est employé pour effectuer une analogie utile, et aider l'élève à comprendre le lien graphique entre la dérivée est les variations de la fonction qu'on dérive.

D'une part, le terme "dérivée" désigne la "fonction dérivée" d'une fonction donnée, et il s'agit donc d'une fonction. Ce mot est donc à utiliser avec des pincettes, car il s'agit d'un objet mathématique bien particulier.

D'autre part, le "coefficient directeur", pour "coefficient directeur d'une droite" (il est important d'utiliser la deuxième expression pour ne pas faire de confusions inutiles), est un terme qui permet de quantifier la variation d'une droite, et non pas d'une courbe quelconque. Pour une courbe quelconque, il est justement utile de définir la notion de nombre dérivé (en un point donné) qui est la limite du taux d'accroissement de la fonction en ce point.



Sur le schéma ci-dessus (Wiki), on peut obtenir un aperçu de l'évolution du taux d'accroissement quand on diminue h au fur et à mesure. La droite qui relie les points et tend vers la tangente à la fonction en .

[Physimath]

Bonjour,

Question intéressante car assez fondamentale je pense.
Pour répondre rapidement, tu sais qu'une tangente est la droite qui touche la courbe de ta fonction en un certain point x0. Or une droite a un coefficient directeur. Et bien ce coefficient est exactement donné par la dérivée.
Donc si tu as f une fonction de x.
Tu cherches la tangente en x0, comme une fontion T(x) = a*x+b.
Alors a = f'(x0).

Ceci est en fait directement relié au taux d'accroissement. En effet tu le défini comme :
h(x) = (f(x)-f(x0))/(x-x0) pour une fonction f, par rapport à un point x0.
Or tu as surement vu que la définition de la dérivée est en fait une limite de ce même taux.
f'(x) = limh(x) quand x-->x0. Ceci veut dire que si tu rapproches x aussi près que tu veux de x0, alors h(x) tend vers un nombre qui est justement la dérivée de f en x0.

Et ceci se remarque très facilement avec la tangente sir tu fais un dessin car le taux d'accroissement est défini comme un coefficient directeur.
En effet tu sais surement que si tu as deux réels a et b, la droite qui passe par f(a) et f(b) a pour coefficient directeur (f(a)-f(b))/(a-b).

Tu remarques alors que notre taux d'accroissement défini plus haut h(x) est en fait le coefficient directeur de la droite qui passe par f(x0) et f(x).

Si tu fais un dessin avec une courbe toute simple qui n'est pas une droite (quelque chose d'un peu incurvé mais rien de compliqué) et que tu trace la droite qui passe par deux point distincts sur ta courbe. Tu fixes un des deux, celui la sera considéré comme l'image de x0, et le second de le rapproche de plus en plus du premier (tu peux te convaincre en traçant quelques courbes)

Eh bien tu vas voir que si tu traces la droite entre ces deux points en rapprochant le second point du premier, ta droite va de plus en plus ressemble à une tangente à la courbe ! C'est exactement la visualisation graphique de la définition de la dérivée comme limite du taux d'accroissement.

En espérant que cela t'aura un peu éclairé

[Lostounet]

Bonjour,

Mon post s'appuie sur le dessin ci-dessous (à cliquer).

Si je place le point A(-1;0) sur la courbe de f
Et un point B quelconque sur la courbe de f à droite du point A, et qu'ensuite je trace (AB)... Est-ce que (AB) est une tangente à la courbe?... Pas forcément.

Alors que se passe-t-il si je rapproche le point B du point A et que je trace (AB) à chaque fois?

Si je prends un nombre h strictement positif, et que je place le point:
B = (-1 + h ; f(-1 + h))
Le point B appartient bien évidemment à la courbe de f

A = (-1 ; 0) et je suppose que f(-1) = 0 donc A appartient aussi à la courbe de f.

La pente de la droite (AB) est donnée par:







Et tu constates que, lorsque h devient petit (B se rapproche de A sur mon dessin ci-dessous donc h tend vers 0), cette quantité va tendre vers f'(-1) qui est la définition du nombre dérivé en -1.

Tu vois bien que cette droite ... tangente! a pour pente la dérivée au point -1 de f.