Dérivation

[upium666]

Bonjour à tous et à toutes

Soit un cercle

Remarquons que :
Lorsque est l'aire de
alors son pérmiètre est

Peut-on alors dire que :

" Un cercle dont l'aire est a pour périmètre "

?

Merci

[Joker62]

Hello,

La question, c'est surtout, est-ce-que tu peux trouver un cercle qui a pour aire autre chose que ;)*R^2 ?

[Robic]

Si x est le rayon, la réponse est oui puisqu'alors .

Si x est autre chose, il est facile de trouver un contre-exemple. Par exemple définissons . f est une fonction constante égale à l'aire du cercle de rayon r, donc répond à l'hypothèse de départ, mais n'est manifestement pas égal au périmètre.

En tout cas, tu es très observateur, upium666. Tu devrais regarder ce qui se passe en dimension 3...

[Archytas]

Bien vu, il ne me semble pas que ça soit un hasard en plus ! Etant donné que l'aire et les primitives sont intimement liées... C'est pareil en dimension 3 ? La surface c'est 4pi.r² ?

[Robic]

Oui, et ça marche aussi en dimension 4 : le "volume" de la boule de rayon r est et son "aire" est (merci Wikipédia).

Effectivement, je crois que c'est normal.

Je viens d'essayer un truc et je crois qu'il y a du vrai (mais si ce n'est pas très rigoureux). J'ai utilisé le calcul d'intégrales (au programme de terminale).

1) Pour calculer l'aire d'un disque, on remplit le disque par des cercles de plus en plus grand, c'est-à-dire de rayon variant de 0 à r. D'où : où désigne le périmètre d'un de ces cercles. Comme le périmètre vaut on obtient :
.
Puisque l'aire a été calculée comme intégrale des périmètres, c'est que le périmètre du cercle est la dérivée de l'aire du disque. En effet, si Q est la primitive de P qui s'annule en 0, alors , d'où A(r) = Q(r), et comme Q'=P par définition, c'est que A'=P.

2) Même méthode pour calculer le volume d'une boule : on la remplit par des sphères (aire d'une sphère de rayon t : ) de plus en plus grandes, c'est-à-dire dont le rayon varie de 0 à r.
.
Là encore, ce calcul prouve que l'aire de la sphère est la dérivée du volume de la boule.

Et ça se généralise sûrement en dimension quelconque.

Bref : upium666, t'es trop fort ! :we:

[Lostounet]

Bien vu, il ne me semble pas que ça soit un hasard en plus ! Etant donné que l'aire et les primitives sont intimement liées... C'est pareil en dimension 3 ? La surface c'est 4pi.r² ?

L'aire de la sphère est la dérivée du volume de la boule !
:doh:

[spike0789]

Ce qui est normal si on regarde la définition du volume de la boule en prenant un volume élémentaire et en l'intégrant suivant les 3 coordonnées sphériques :

dV=dAdr avec dA=r^2*sin(theta)d(theta)d(phi)

En intégrant pour r=0..R, theta=0..Pi, phi=0.;2Pi, on obtient bien les formules citées plus haut.

De même avec le disque (aire et périmètre) : dP=rd(theta) et dA=dPdr