DERIVATION ; fonction polynôme (T° ES)

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gtasa
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DERIVATION ; fonction polynôme (T° ES)

par gtasa » 06 Nov 2005, 19:04

Bonjour, je ne sais pas du tout comment il faut procéder pour mener à bien cette question.

1. Le plan est muni d'un repère (o;i;j)

Une courbe C admet dans le repère une équation du type :
y = ax^3 + bx² + cx + d, où a,b,c,d sont des réels.

Cette courbe :
- est une tangente à la droite d'équation y = -1 au point A d'abscisse 0.
- admet au point B d'abscisse 2/3 une tangente horizontale.
- admet au point C d'abscisse 1 une tangente parallèle à la droite d'équation
y= x + 3

Déterminer les réels a,b,c,d



becirj
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par becirj » 06 Nov 2005, 19:47

Bonsoir

Important : le coefficient directeur d'une tangente est donné par le nombre dérivé.
Il faut commencer par écrire la fonction dérivée.
La première indication montre que le point A(0,-1) appartient à la cournbe et que f'(0)=0 puisque la tangente en A est parallèle à l'axe des abscisses.
Cela te donne 2 équations d'inconnues a, b, c,d.
La deuxième indication permet d'écrire que f'(2/3) =0 (tangente horizontale)
La troisième indication permet d'écrire quef'(1)=1 car 2 droites parallèles ont même coefficient directeur.
Tu as ainsi un système de 4 équations à 4 inconnues à résoudre.

Chimerade
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par Chimerade » 06 Nov 2005, 19:47

Quelle est l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse x0 ? Si tu sais répondre à cette question, tu peux aligner quatre équations très rapidement pour traduire ce que dit l'énoncé. Sinon, je te le rappellerai... Alors, sais-tu répondre à ma question ?

LN1
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par LN1 » 06 Nov 2005, 19:55

Bonjour,

il faut traduire chaque phrase par une égalité

"la courbe passe par le point M(truc ; machin)" se traduit par l'égalité
machin = f(truc)

"la tangente au point A d'abscisse bidule a pour cefficient directeur m" se traduit par l'égalité f '(bidule) = m

tu as donc ici
f(x) = ax^3 + bx² + cx + d
f '(x) = 3ax² + 2bx + c

la première phrase se traduit par une double égalité :
la courbe passe par A(0 ; - 1) <=> f(0) = -1 <=> d = -1
la tangente est horizontale <=> f '(0) = 0 <=> c = 0

la deuxième phrase se traduit par une égalité
au point d'abscisse 2/3, la tangente est horizontale <=> f '(2/3) = 0 <=> 3a(2/3)² + 2b(2/3) + c = 0

la troisième phrase se traduit par l'égalité :
au point d'abscisse 1, la tangente a pour coefficient directeur 1 (1 est le coefficient directeur de la droite d'équation y = x + 3) <=> f '(1) = 1 < => ...

Je te laisse finir: tu as un système de 4 équation a 4 inconnues a, b, c, d, qu'il te suffit de résoudre pour trouver l'équation de ta courbe

Bon courage

LN1
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par LN1 » 06 Nov 2005, 19:56

Tir groupé

pardon Chimerade et Becirj

gtasa
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par gtasa » 06 Nov 2005, 20:47

Comment peut-on savoir que la courbe C est une tangente horizontale ?

Merci aux autres qui m'ont répondu

becirj
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par becirj » 06 Nov 2005, 20:59

La tangente d'équation y=-1 est une droite parallèle à l'axe des abscisses donc c'est une tangente horizontale.

Chimerade
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par Chimerade » 07 Nov 2005, 00:01

LN1 a écrit:Tir groupé

pardon Chimerade et Becirj

Mais je t'en prie LN1...

gtasa
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par gtasa » 08 Nov 2005, 22:54

Merci à tous mais ceci n'était que la 1aire des 3 questions de l'exo.

2. Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x3 - x²-1.
a) Etudiez les limites de f en + l'infini et en - l'infini.
b) Calculez f'(x) et étudiez les variations de f.
c) Montrez que 1 < a < 2
Donnez, en expliquant la méthode utilisée, une valeur approchée de a à 10-1 près.

Ce que j'ai fait :
a) limite de f en + l'infini : lim x3 = + l'infini ; lim x²= + l'infini donc lim -x² = - l'infini.
Donc je trouve lim f(x) = F.I. Comment la levée ?

limite de f en - l'infini : lim x3 = - l'infini ; lim x² = - l'infini donc lim -x²=+ l'infin
Donc lim f(x) = F.I. Comment la levée ??

b) f'(x) = 3x - 2x
_____________________________
x / - l'infini 0 + l'infini
_____/_______________________
f'(x) / - 0 +
_____/_________________________
f(x) / strict. décr. st. crois.
_____/____________-1__________

Valeur charnière : je remplace 0 dans f'(x); on a 0
Recherche du minimal absolu de la fonction f : je remplace 0 dans f(x) ; on a -1.

c) f est continue sur [0; + l'infini]
f est strict. croiss. sur le m intervalle.D'après le tableau des variations de f

f ([0;+ l'inf.]) = [-1 ;+l'inf.] et 0 appartient à [-1 ; + l'inf]
DONC on peut dire que l'équation f(x) = 0 admet 1 solution a appartenant à [-1; + l'inf.]

d) On calcule les solutions de l'équation f(x)=0 pour trouver la valeur de a sur [0;+ l'inf.]

On résout x3 - x²-1 = 0 Comment faire ??

on doit trouver 1 solution entre 1 et 2
On a 1 0
Donc a = environ 1.5

Merci d'avance pour votre soutien ; corriger moi si nécessaire

gtasa
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par gtasa » 08 Nov 2005, 22:57

Bonjour, voici je ne sais pas comment procéder pour mener à bien cette dernière question.

3. a) Tracez dans le répère les courbes F et G d'équations respectives y= x² et y=x3-1.
b) Montrez que F et G se coupent en un unique point M dont vous exprimerez les coordonnées en fonction de a. (a= environ 1.5 d'après mes calculs==> Q. 2)

becirj
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par becirj » 09 Nov 2005, 00:12

Bonsoir
Il y a des fautes.
2.a) En - il n'y a pas de forme indéterminée puisque et - ont pour limite -, f a donc pour limite -
Pour lever l'indétermination en +, il faut mettre en facteur le terme de plus haut degré c'est-à-dire .
b)La fonction dérivée est Elle s'annule en 0 et en et on peut étudier son signe par un tableau ou par la règle sur le signe du trinôme du second degré.
c) La question est à revoir étant donné l'erreur dans la fonction dérivée.
d) On ne doit pas résoudre l'équation mais donner une valeur approchée de a avec la calculatrice. (1,4<a<1,5)

3. L'abscisse du point M est solution de l'équation , soit en transposant . La solution de cette équation est a donc M apour abscisse a et pour ordonnée

S@m
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par S@m » 09 Nov 2005, 00:18

POur la a) il te suffit de faire un tableau de valeurs pour chacune des fonctions (tableau a la calculatrice ou bien grace a ta tête :marteau: )

Pour la b) on doit resoudre soit



Si on te demande d'exprimer en fonction de a tu ne dois pas le remplacer! :happy2:
Résous cette equation: a est solution donc M a pour abscisse a .

:happy2:

EDit: HAPPY BIRTHDAY TO ME !!! 500EME MESSAGE :ptdr:VIVE LES MEMBRES COMPLEXES LOL

gtasa
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par gtasa » 09 Nov 2005, 23:44

Voilà pour la 1. j'ai trouvé les 4 équations :

f'(2/3)=0 <==> 4a/3 + 4b/3=0 <==> a+b=0

f'(1)=1 <=> 3a+2b=1

f'(0)=0 <==> 3a+2b+c=0

f(o)=-1 <==> a+b+c+d= -1


Merci, corriger moi si nécessaire

 

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