Polynôme et dérivation

[Gossamer-ring]

Bonjour :we:
J'ai un problème avec un exercice de DM :

Si P est un polynôme et a est racine de P si P(a)=0.
On considère un polynôme P de degré supérieur ou égal à 2, on se propose de démontrer le résultat suivant :"P se factorise par (x-a)² si, et seulement si, P(a)=P'(a)=0."

Partie A:
1) On suppose qu'il existe un polynôme R tel que, pour tout réel x :
P(x)=(x-a)²R(x)
Montrer que P(a)=P'(a)=0

2)Réciproquement, on admet qu'il existe un réel k tel que :
P(x)=(x-a)R(x)+k
(Le degré de R est donc égal a celui de P - 1)
Déterminer en fonction de P et de a le réel k

3)Calculer P'(x)

4)On suppose que P(a)=P'(a)=0
Montrer que R(a)=0

5)En déduire le résultat annoncé.

Partie B:

6)On considère le polynôme défini par:
P(x)=-15x^4+61x^3-62x²-4x+8 (les ^4 et ^3 c'est les puissances de 3 et 4)

a)Montrer que P se factorise par (x-2)²
b)En déduire les racines du polynôme P
c)Achever sa factorisation

J'ai réussi la 1) et la 2) alors s'il vous plait, aidez moi pour le reste !!

Merci d'avance :we:

[Thomas Joseph]

3) Pour P'
la dérivée de k (constante est 0)

Pour (x-a)R(x) utilise (uv)'=u'v+uv'

[Gossamer-ring]

D'accord mais il faut que je trouve R'(x) dans ce cas et pour cela j'ai besoin de P'(x) :triste:

[Thomas Joseph]

L'expression de P'(x) contiendra bien-entendu R'(x), mais il n'est pas nécessaire pour la suite d'obtenir une expression de R'(x) en fonction de x.