Dérivabilité d'une fonction en 1 ?

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Lolrien
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Dérivabilité d'une fonction en 1 ?

par Lolrien » 14 Juin 2018, 22:18

Bonjour,

Voici l'énoncé:

f est la fonction définie sur R par :
• f(x) = x² - x -4 si
• f(x) = si x>1

J'aurais besoin de votre aide pour la question Numéro 2, lorsque l'on demande de vérifier si la fonction est dérivable en 1. Pour la première question, on a montré que la fonction f(x) était continue en 1.
Je ne sais pas vraiment quoi dire à part que, comme la fonction est continue en 1, alors elle est dérivable en 1.

Pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?

Merci d'avance



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mathelot
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Re: Dérivabilité d'une fonction en 1 ?

par mathelot » 14 Juin 2018, 22:45

bonsoir,
connais tu le théorème des accroissements finis ?
sinon,

à gauche de 1 , posons x=1-h, h>0

on en déduit le nombre dérivé à gauche en x=1



à droite de 1 , posons x=1+h, h>0




on en déduit le nombre dérivé à droite en x=1


la fonction f n'est pas dérivable en x=1 car son nombre dérivé à gauche diffère
de son nombre dérivé à droite

remarque: o(h) désigne une quantité négligeable devant h

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Lostounet
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Re: Dérivabilité d'une fonction en 1 ?

par Lostounet » 14 Juin 2018, 22:57

Bonsoir,
Lolrien a écrit:
f est la fonction définie sur R par :
• f(x) = x² - x -4 si
• f(x) = si x>1
Pour la première question, on a montré que la fonction f(x) était continue en 1.
Je ne sais pas vraiment quoi dire à part que, comme la fonction est continue en 1, alors elle est dérivable en 1.


Attention, ça c'est faux... Une fonction peut-être continue en un point (x = 1), sans être dérivable en ce point ...

Comment as-tu montré que f était continue en 1? Tu as peut-être regardé si les limites à droite et à gauche du point 1 étaient égales. En gros, tu as regardé la limite de f(1 + h) lorsque h tend vers 0... et f(1 - h) lorsque h tend vers 0. Non?


Et si tu regardais f'(1 + h) et f'(1 - h) ?

Lolrien
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Re: Dérivabilité d'une fonction en 1 ?

par Lolrien » 14 Juin 2018, 23:03

Bonsoir,

Pour répondre à Mathelot:
Je suis en TS et je n'ai pas vu le théorème d'accroissement fini. De plus, je ne comprends vraiment pas ce que vous avez fait après.
Et sans vouloir vous vexer, la fonction f(x) est dérivable en 1 (correction de mon professeur), mais je ne comprends pas pourquoi. J'ai donc demandé afin d'avoir des réponses diverses.

Pour répondre à Lostounet
Pourriez vous m'expliquer pourquoi une fonction qui est continue en un point n'est pas forcèment dérivable, je ne vois pas comment c'est possible.

Pour vérifier si la fonction était continue en 1, j'ai fait la méthode de base.
J'ai calculé f(1), donc avec x²-x-4 et j'ai trouvé -4
Puis j'ai trouvé la limite de (x-5)/x pour x tend vers 1 et avec x>1 et on trouve -4
On en déduit donc que la fonction est continue en 1.

Je ne vois toujours pas pour montrer la dérivabilité en 1, ça me semble étrange.

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Lostounet
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Re: Dérivabilité d'une fonction en 1 ?

par Lostounet » 14 Juin 2018, 23:12

Lolrien a écrit:Pour répondre à Lostounet
Pourriez vous m'expliquer pourquoi une fonction qui est continue en un point n'est pas forcèment dérivable, je ne vois pas comment c'est possible.

Pour vérifier si la fonction était continue en 1, j'ai fait la méthode de base.
J'ai calculé f(1), donc avec x²-x-4 et j'ai trouvé -4
Puis j'ai trouvé la limite de (x-5)/x pour x tend vers 1 et avec x>1 et on trouve -4
On en déduit donc que la fonction est continue en 1.

Je ne vois toujours pas pour montrer la dérivabilité en 1, ça me semble étrange.


Quand tu dis qu'une fonction est continue en un point, cela signifie qu'elle est d'un seul tenant autour de se point. Par exemple si je te définis la fonction:
g(x) = 1 si x > 0
g(x) = 0 si x<=0

On voit clairement que cette fonction n'est pas continue en 0 (car elle se "détache" en 0).


Quand tu dis qu'une fonction est dérivable en un point, cela signifie non seulement qu'elle ne se détache pas en ce point, mais aussi qu'elle admet une tangente en ce point ("en gros"). Cela voudrait dire qualitativement qu'elle est "lisse" autour de ce point.
Regarde par exemple cette fonction-là:
Image

Elle est continue au point 1, mais elle n'a pas de tangente au point 1 (tu vois bien le "pic")... (en fait il y a une "demi-tangente" à gauche de 1 qui est différente de celle de droite de 1.. mais bien entendu ceci est juste quelque chose de qualitatif pour le moment juste pour te donner une idée).
Un autre exemple typique: la fonction valeur absolue, h(x) = |x| qui est continue en 0 mais non dérivable en 0.

Et pour revenir à ton exercice, la méthode consiste à regarder la limite de f'(1 - h) lorsque h tend vers 0 ainsi que f'(1) afin de voir si effectivement la pente de la tangente est la même à droite et à gauche du point 1... c'est le même type de travail que pour la continuité. Il n'y a donc rien d'étrange... si ce n'est que les deux notions sont un peu nouvelles.

PS: Tu l'auras compris, si une fonction est dérivable en un point, c'est qu'elle y est forcément continue ! Car on exige d'elle d'être "lisse"/"douce" en ce point, et donc forcément qu'elle ne devrait pas se détacher brusquement...
Mais la réciproque est fausse, continue n'implique pas dérivable comme le montre cet exercice...

PS2: Mathelot a raison, je trouve que la fonction n'est pas dérivable en 1 non plus. D'ailleurs trace la fonction et tu verras...

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mathelot
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Re: Dérivabilité d'une fonction en 1 ?

par mathelot » 14 Juin 2018, 23:22

on va faire autrement:


pour x < 1



pour x>1




f n'est pas dérivable en x=1.

(la fonction f n'est pas dérivable en x=1 car son nombre dérivé à gauche diffère
de son nombre dérivé à droite)

Lolrien
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Re: Dérivabilité d'une fonction en 1 ?

par Lolrien » 15 Juin 2018, 00:14

Bonsoir à vous deux,

Merci de vos réponses précises, je vais essayer de bien travailler cette notion pour le BAC.

Sinon, la 2nd méthode de Mathelot me semble plus cohérente que celle de mon prof, qui regardait la limite seulement avec la fonction f(x) = (x-5)/x
C'est surtout ça qui me perturbait !

Et pour revenir à ton exercice, la méthode consiste à regarder la limite de f'(1 - h) lorsque h tend vers 0 ainsi que f'(1) afin de voir si effectivement la pente de la tangente est la même à droite et à gauche du point 1... c'est le même type de travail que pour la continuité.


Lorsque vous parlez de la limite de f'(1-h), c'est bien pour f(x) = (x-5)/x ? (Vu que x=1 et que cette "partie" de f(x) n'est définie que pour x>1)
Et lorsque vous parlez de f'(1), c'est bien pour f(x) = x² -x -4 ? (Vu que x=1)


Encore merci, je vais bien relire les réponses demain afin d'être sûr d'avoir bien compris.

 

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