Ensemble de dérivabilité d'une fonction

[Arnaud95]

J'ai un cours du CNED où il est écrit :

"Pour que f définie sur [0 ; 1[, par exemple, soit dérivable sur [0 ; 1], il faut que f soit dérivable en tout point de ]0;1[ et dérivable à droite en 0."

Déjà il y a un problème, puisqu'une fonction qui n'est pas définie en 1 ne pourra jamais être dérivable en 1 ?

Imaginons qu'ils aient voulu écrire :

"Pour que f définie sur [0 ; 1[, par exemple, soit dérivable sur [0 ; 1[, il faut que f soit dérivable en tout point de ]0;1[ et dérivable à droite en 0."

Que fait-on alors de la fonction racine carré, qui est définie sur [0;1[ aussi (et même sur [0;+oo[ ), qui est dérivable en tout point de ]0;1[, dérivable à droite de 0, mais qui n'est pas dérivable en 0 ?

Puisque le nombre dérivé à droite de la fonction racine carré tend vers +oo, admettons qu'ils aient oublié de dire "admet un nombre dérivé FINI à droite de 0". Dans ce cas, que fait-on de la fonction valeur absolue, qui admet des nombres dérivés finis différents en 0 ?

Si on définit une fonction f telle que f(x)=x mais qu'on limite son ensemble de définition à [5;10], qu'est-ce qui nous fait dire f est dérivable en 5, puisqu'on ne peut pas calculer la limite du taux d'accroissement pour x<5 ? Doit-on définir une autre fonction, par exemple g telle que g(x)=x, définie sur R, et calculer la limite du taux d'accroissement, qui nous donne le même nombre fini à gauche et droite, pour dire que la fonction f est dérivable en 5 ??

Merci beaucoup !

[vincentroumezy]

J'ai un cours du CNED où il est écrit :

"Pour que f définie sur [0 ; 1[, par exemple, soit dérivable sur [0 ; 1], il faut que f soit dérivable en tout point de ]0;1[ et dérivable à droite en 0."

Déjà il y a un problème, puisqu'une fonction qui n'est pas définie en 1 ne pourra jamais être dérivable en 1 ?

Imaginons qu'ils aient voulu écrire :

"Pour que f définie sur [0 ; 1[, par exemple, soit dérivable sur [0 ; 1[, il faut que f soit dérivable en tout point de ]0;1[ et dérivable à droite en 0."

Que fait-on alors de la fonction racine carré, qui est définie sur [0;1[ aussi (et même sur [0;+oo[ ), qui est dérivable en tout point de ]0;1[, dérivable à droite de 0, mais qui n'est pas dérivable en 0 ?

Puisque le nombre dérivé à droite de la fonction racine carré tend vers +oo, admettons qu'ils aient oublié de dire "admet un nombre dérivé FINI à droite de 0". Dans ce cas, que fait-on de la fonction valeur absolue, qui admet des nombres dérivés finis différents en 0 ?

Si on définit une fonction f telle que f(x)=x mais qu'on limite son ensemble de définition à [5;10], qu'est-ce qui nous fait dire f est dérivable en 5, puisqu'on ne peut pas calculer la limite du taux d'accroissement pour x<5 ? Doit-on définir une autre fonction, par exemple g telle que g(x)=x, définie sur R, et calculer la limite du taux d'accroissement, qui nous donne le même nombre fini à gauche et droite, pour dire que la fonction f est dérivable en 5 ??

Merci beaucoup !

Bonsoir.
Pour tes dernières questions, sur [5,10] tu pouras seulement dire qu'elle est dérivable à droite en 5, mais pas forcément dérivable en 5.

[Nightmare]

Salut,

la fonction racine carrée n'est pas dérivable à droite en 0. Lorsque l'on parle de nombre dérivé, on parle automatiquement de nombre fini, donc il n'y a pas besoin de rajouter "nombre dérivé fini" pour que ce soit clair, ça l'est déjà.

La fonction valeur absolue est dérivable à gauche et à droite en 0 mais ses nombres dérivés à gauche et à droite étant différents, elle n'est pas dérivable en 0.

Lorsque l'on parle de dérivabilité ou de continuité en des bornes d'un intervalle fermé, c'est qu'on parle de dérivabilité à gauche ou à droite et de continuité à gauche et à droite.

Par exemple, quand on dit que la fonction racine carrée est continue en 0, on sous-entend "continue à droite" car la fonction n'est pas définie à gauche.

[Arnaud95]

Salut,

la fonction racine carrée n'est pas dérivable à droite en 0. Lorsque l'on parle de nombre dérivé, on parle automatiquement de nombre fini, donc il n'y a pas besoin de rajouter "nombre dérivé fini" pour que ce soit clair, ça l'est déjà.

La fonction valeur absolue est dérivable à gauche et à droite en 0 mais ses nombres dérivés à gauche et à droite étant différents, elle n'est pas dérivable en 0.

Lorsque l'on parle de dérivabilité ou de continuité en des bornes d'un intervalle fermé, c'est qu'on parle de dérivabilité à gauche ou à droite et de continuité à gauche et à droite.

Par exemple, quand on dit que la fonction racine carrée est continue en 0, on sous-entend "continue à droite" car la fonction n'est pas définie à gauche.

Merci pour cette réponse !

Disons que la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0 car elle n'admet pas de nombre dérivé à droite. Pourtant, la fonction valeur absolue admet un nombre dérivé à droite (ou à gauche, différent). Si on considère la fonction v définie sur [0;5] telle que v(x)=|x|, qu'est-ce qui nous interdit de dire qu'elle est dérivable en 0 par rapport à la fonction f définie sur [0;5] telle que f(x)=x ?

[Nightmare]

Merci pour cette réponse !

Disons que la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0 car elle n'admet pas de nombre dérivé à droite. Pourtant, la fonction valeur absolue admet un nombre dérivé à droite (ou à gauche, différent). Si on considère la fonction v définie sur [0;5] telle que v(x)=|x|, qu'est-ce qui nous interdit de dire qu'elle est dérivable en 0 par rapport à la fonction f définie sur [0;5] telle que f(x)=x ?

Rien ne t'interdit de le faire à condition que ce soit bien clair dans ta tête et celle des lecteurs que que dérivable signifie bien ici "dérivable à droite".

En résumé :

- La fonction définie sur R par f(x)=|x| n'est pas dérivable en 0
- La fonction définie sur [0;5] par f(x)=|x| est dite dérivable en 0, mais cela signifie en fait qu'elle est dérivable à droite en 0. Par contre, elle n'est pas formellement dérivable en 0 (puisqu'elle n'est pas définie à gauche de 0 et qu'on ne peut pas parler de dérivabilité en un point autour du quel la fonction n'est pas définie).

C'est plus un problème de vocabulaire que de définition.