Dénombrement

par **t.itou29** » 28 Sep 2013, 17:45

Bonsoir,
Je bloque sur cet exercice :
Un disque circulaire est divisé en quatre secteurs. On se propose de colorier ces secteurs de façon que deux secteurs contigus soient de couleurs différentes.
1. Montrer qu'avec 4 couleurs il y a 84 coloriages possibles.
J'ai pensé à faire une disjonction des cas suivant la forme:
ABCD: 4!=24
ABAB: 4*3=12
ABAC= 4*3*3=36
Mais je tombe sur 72 il doit me manquer un cas.
Pouvez-vous m'aider ?

par **chan79** » 28 Sep 2013, 17:57

t.itou29 a écrit:Bonsoir,
Je bloque sur cet exercice :
Un disque circulaire est divisé en quatre secteurs. On se propose de colorier ces secteurs de façon que deux secteurs contigus soient de couleurs différentes.
1. Montrer qu'avec 4 couleurs il y a 84 coloriages possibles.
J'ai pensé à faire une disjonction des cas suivant la forme:
ABCD: 4!=24
ABAB: 4*3=12
ABAC= 4*3*3=36
Mais je tombe sur 72 il doit me manquer un cas.
Pouvez-vous m'aider ?

salut
pour te donner des idées
4 pour le secteur 1
3 pour le secteur 2
7 pour les deux autres, (3+2*2) distinguer deux cas
4*3*7=84

par **t.itou29** » 28 Sep 2013, 18:44

chan79 a écrit:salut
pour te donner des idées
4 pour le secteur 1
3 pour le secteur 2
7 pour les deux autres, (3+2*2) distinguer deux cas
4*3*7=84

OK merci. Pour avoir 7, il faut bien distinguer le cas où le troisième secteur est de la même couleur que le premier (3 possibilités) et l'autre où il est différent (2*2 possibilités ) ?

par **chan79** » 28 Sep 2013, 18:49

t.itou29 a écrit:OK merci. Pour avoir 7, il faut bien distinguer le cas où le troisième secteur est de la même couleur que le premier (3 possibilités) et l'autre où il est différent (2*2 possibilités ) ?

c'est bien ça !

par **t.itou29** » 28 Sep 2013, 18:53

Du coup pour le cas général ça donne:
Pour le secteur 1: n
Pour le secteur 2: n-1
Pour le secteur 3 et 4:
- si le secteur 3 est de la même couleur que le secteur 1: n-1
- sinon (n-1)-1=n-2 pour le secteur 3 et n-2 pour le 4 ce qui donne : (n-2)^2
En tout n(n-1)[n-1+(n-2)^2]=n(n-1)(n^2-3n+3)
Est-ce suffisamment rédigé ?

par **chan79** » 28 Sep 2013, 20:34

t.itou29 a écrit:Du coup pour le cas général ça donne:
Pour le secteur 1: n
Pour le secteur 2: n-1
Pour le secteur 3 et 4:
- si le secteur 3 est de la même couleur que le secteur 1: n-1
- sinon (n-1)-1=n-2 pour le secteur 3 et n-2 pour le 4 ce qui donne : (n-2)^2
En tout n(n-1)[n-1+(n-2)^2]=n(n-1)(n^2-3n+3)
Est-ce suffisamment rédigé ?

c'est OK, je pense, car tu n'as pas mis l'énoncé en entier

par **t.itou29** » 29 Sep 2013, 10:10

chan79 a écrit:c'est OK, je pense, car tu n'as pas mis l'énoncé en entier

Il fallait trouver le nombre de coloriages possibles avec n couleurs.

par **chan79** » 29 Sep 2013, 12:06

t.itou29 a écrit:Il fallait trouver le nombre de coloriages possibles avec n couleurs.

c'est bien ce que j'avais pensé :lol3:

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