Dénombrement

par **halyins** » 27 Juil 2012, 09:49

Bonjour tout le monde!
J'espère que vous êtes en pleine forme aujourd'hui! J'ai besoin de votre aide sur un problème de dénombrement. Le voici:

On répartit 4 jetons sur un damier de 16 cases (4 lignes et 4 colonnes); chaque case ne pouvant contenir qu'un jeton au plus.
Déterminer e nombre de remplissges possibles si:
1. il y a exactement un jeton par ligne et par colonne;
2. il y a exactement une colonne sans jeton
3. il y a au moins une colonne sans jeton;
4. il y a exactement une ligne et une colonne sans jeton.

Voilà chers internautes.
Merci de cogiter un peu avec moi!

par **titine** » 27 Juil 2012, 10:18

halyins a écrit:Bonjour tout le monde!
J'espère que vous êtes en pleine forme aujourd'hui! J'ai besoin de votre aide sur un problème de dénombrement. Le voici:

On répartit 4 jetons sur un damier de 16 cases (4 lignes et 4 colonnes); chaque case ne pouvant contenir qu'un jeton au plus.
Déterminer e nombre de remplissges possibles si:
1. il y a exactement un jeton par ligne et par colonne;

Tu commences par remplir la 1ère ligne. Tu as 4 possibilités pour placer ton 1er jeton.
Puis tu vas placer le 2ème jeton sur la 2ème ligne mais tu n'as plus que 3 possibilités car ce jeton ne doit pas être sur la même colonne que le 1er.
Puis tu places le 3ème jeton sur la 3ème ligne. Tu n'as que 2 possibilités.
Pour le 4ème jeton tu n'as plus le chois, il ne reste qu'un emplacement possible.
Donc le nombre de possibilités est 4*3*2.
As tu compris le raisonnement ?

par **halyins** » 27 Juil 2012, 10:29

titine a écrit:Tu commences par remplir la 1ère ligne. Tu as 4 possibilités pour placer ton 1er jeton.
Puis tu vas placer le 2ème jeton sur la 2ème ligne mais tu n'as plus que 3 possibilités car ce jeton ne doit pas être sur la même colonne que le 1er.
Puis tu places le 3ème jeton sur la 3ème ligne. Tu n'as que 2 possibilités.
Pour le 4ème jeton tu n'as plus le chois, il ne reste qu'un emplacement possible.
Donc le nombre de possibilités est 4*3*2.
As tu compris le raisonnement ?

Bonjour Titine,

Merci pour la réponse. J'ai bien compris le raisonnement et je suis de ton avis. Cela fait alors 4!=24.
Merci encore.

par **titine** » 27 Juil 2012, 10:32

halyins a écrit:2. il y a exactement une colonne sans jeton

Là je dirais qu'il y a 12 emplacements possibles pour 4 jetons
donc nombre de combinaisons de (4 parmi 12)

par **beagle** » 27 Juil 2012, 11:53

titine a écrit:Là je dirais qu'il y a 12 emplacements possibles pour 4 jetons
donc nombre de combinaisons de (4 parmi 12)

cela ressemble plutot à la 3)
et on a 4 colonnes possibles donne x4

donc l'ordre des questions est zarbi, non?

par **beagle** » 27 Juil 2012, 12:01

salut beagle, non pas zarbi, on peut aussi faire la 2) avant la 3)
Tiens, tu te serviras de la 3 pour vérifier tadeux, ça t'apprendra!

par **titine** » 27 Juil 2012, 13:31

Excusez moi Beagle, je ne comprends pas bien vos interventions ...
Pensez vous que la réponse que j'ai proposé pour la question 2) est inexacte ?

par **chan79** » 27 Juil 2012, 13:37

beagle a écrit:salut beagle, non pas zarbi, on peut aussi faire la 2) avant la 3)
Tiens, tu te serviras de la 3 pour vérifier tadeux, ça t'apprendra!

salut
pour la 2
choix de la colonne vide: 4
choix de la colonne avec 2 jetons: 3 (les deux autres ont 1 jeton)
donc 4*3*6*4*4=1152
pour la 3
chercher d'abord le nombre de façons avec 0 colonne vide

par **beagle** » 27 Juil 2012, 14:07

titine a écrit:Excusez moi Beagle, je ne comprends pas bien vos interventions ...
Pensez vous que la réponse que j'ai proposé pour la question 2) est inexacte ?

Je me suis trompé pour la 3, cela crée des doublons, la réponse avec C(3,12) come je pensais.
donc à dédou, détripler ou à calculer autrement.

Pour la 2 j'ai comme chan79,1152, avec je pense autre méthode ...
4x4x4x9/2 x 4 (colonnes)

par **halyins** » 29 Juil 2012, 02:08

Bonjour tout le monde,

Je remercie beaucoup tous ceux qui sont intervenus.
Pour les 2è et 3è questions, je suis du même avis que chan79. Je pense donc qu'il a raison. grand merci à lui!

par **chan79** » 29 Juil 2012, 07:50

halyins a écrit:Bonjour tout le monde,

Je remercie beaucoup tous ceux qui sont intervenus.
Pour les 2è et 3è questions, je suis du même avis que chan79. Je pense donc qu'il a raison. grand merci à lui!

De rien
pour la 4, je ferais le même raisonnement que pour la 2
choix de la colonne vide et de la ligne vide 4*4=16
choix de la colonne avec deux jetons 3
donc 16*3*3*3*3
vérifier qu'il n'y a pas de doublon

par **beagle** » 29 Juil 2012, 08:30

Pour la 4:
-choix d'une colonne et rangée vide = choisir une case d'intersection sur les 16 = 16 OK

par contre, je n'ai pas comme Chan:
le problème revient à dans un carré de 3x3, mettre 4 jetons avec aucune colonne ou rangée vide.
j'avais du 3x2x1x9

ou comme chan 3x3, là où colonnes de 2
mais ensuite c'est choix 2 puis 3
3x3x2x3

par **chan79** » 29 Juil 2012, 09:35

beagle a écrit:Pour la 4:
-choix d'une colonne et rangée vide = choisir une case d'intersection sur les 16 = 16 OK

par contre, je n'ai pas comme Chan:
le problème revient à dans un carré de 3x3, mettre 4 jetons avec aucune colonne ou rangée vide.
j'avais du 3x2x1x9

ou comme chan 3x3, là où colonnes de 2
mais ensuite c'est choix 2 puis 3
3x3x2x3

exact, j'avais des doublons !

par **halyins** » 29 Juil 2012, 13:32

beagle a écrit:Pour la 4:
-choix d'une colonne et rangée vide = choisir une case d'intersection sur les 16 = 16 OK

par contre, je n'ai pas comme Chan:
le problème revient à dans un carré de 3x3, mettre 4 jetons avec aucune colonne ou rangée vide.
j'avais du 3x2x1x9

ou comme chan 3x3, là où colonnes de 2
mais ensuite c'est choix 2 puis 3
3x3x2x3

Merci à beagle et chan79
je comprends la première partie du raisnnement, pas contre je ne compends pas ceci:
"mais ensuite c'est choix 2 puis 3
3x3x2x3".
Merci à beagle de m'éclairer d'avantage!

par **beagle** » 29 Juil 2012, 13:56

halyins a écrit:Merci à beagle et chan79
je comprends la première partie du raisnnement, pas contre je ne compends pas ceci:
"mais ensuite c'est choix 2 puis 3
3x3x2x3".
Merci à beagle de m'éclairer d'avantage!

la deuxième partie est équivalente à placer 4 jetons dans un carré de 3x3 cases, et on ne doit pas avoir de colonnes ou de rangées vide.
Donc perso j'étais parti sur:
3 dans une colonne x 2 dans colonnes d'à coté x 1 à placer dans colonne suivante.
Et il reste 12-3= 9 emplacements pour mon choix 4.
donc 3x2x1x9
"curieusement" le choix 4 ne peut pas servir pour intervertir et créer ainsi des doublons,
comme dans l'exo 2 où je devais diviser mon x9 par 2.

Et Chan, dit il va y avoir une colonne qui aura 2 jetons.
Cela me donne 3 colonnes possibles, et dans une colonne donnée je peux faire 3 placements différents des 2 jetons, nous voilà avec du 3x3,
il reste deux jetons à placer,
là où on va n'avoir que deux choix c'est que l'on doit impérativement choisir 1 des deux emplacements de la rangée où il n' y a pas nos 2 choix de colonne précédent, , et ensuite on aura 3 choix dans la colonne qui n'est ni celle de départ des 2, ni celle que l'on vient de choisir, mais les 3 emplacements sont au choix, donc cela se finit en 2x3.

par **chan79** » 29 Juil 2012, 15:07

beagle a écrit:la deuxième partie est équivalente à placer 4 jetons dans un carré de 3x3 cases, et on ne doit pas avoir de colonnes ou de rangées vide.
Donc perso j'étais parti sur:
3 dans une colonne x 2 dans colonnes d'à coté x 1 à placer dans colonne suivante.
Et il reste 12-3= 9 emplacements pour mon choix 4.
donc 3x2x1x9
"curieusement" le choix 4 ne peut pas servir pour intervertir et créer ainsi des doublons,
comme dans l'exo 2 où je devais diviser mon x9 par 2.

Et Chan, dit il va y avoir une colonne qui aura 2 jetons.
Cela me donne 3 colonnes possibles, et dans une colonne donnée je peux faire 3 placements différents des 2 jetons, nous voilà avec du 3x3,
il reste deux jetons à placer,
là où on va n'avoir que deux choix c'est que l'on doit impérativement choisir 1 des deux emplacements de la rangée où il n' y a pas nos 2 choix de colonne précédent, , et ensuite on aura 3 choix dans la colonne qui n'est ni celle de départ des 2, ni celle que l'on vient de choisir, mais les 3 emplacements sont au choix, donc cela se finit en 2x3.

Je viens de voir qu'il y a encore des doublons, beagle
Donc, pour mettre 4 jetons dans un carré 3x3 avec au moins 1 jeton dans chaque ligne et chaque colonne
choix de la colonne avec deux jetons 3
placements des 2 jetons dans cette colonne 3
ensuite pour mettre les deux autres jetons 3+3-1=5
soit en tout 3*3*5=45

par **beagle** » 29 Juil 2012, 15:59

bah, comme je retombe sur mon premier calcul initial en 3x2x1x9
je suis confiant pour ta méthode en
3 colonnes et 3 emplacements des 2 jetons sur la colonne doublée, ok, 3x3

mais ensuite je dois choisir sur les deux colonnes qui restent,
au moins une fois la rangée pour le moment vide, c'est deux choix.

et ensuite si cela est fait j'ai la liberté des 3 choix sur la dernière colonne

donc la fin est 2x3=6 et non 3+3-1=5

par **chan79** » 29 Juil 2012, 16:23

beagle a écrit:bah, comme je retombe sur mon premier calcul initial en 3x2x1x9
je suis confiant pour ta méthode en
3 colonnes et 3 emplacements des 2 jetons sur la colonne doublée, ok, 3x3

mais ensuite je dois choisir sur les deux colonnes qui restent,
au moins une fois la rangée pour le moment vide, c'est deux choix.

et ensuite si cela est fait j'ai la liberté des 3 choix sur la dernière colonne

donc la fin est 2x3=6 et non 3+3-1=5

Il me semble pourtant qu'une fois choisie la colonne (celle de gauche) et la position des deux jetons dans cette colonne (haut et milieu) il y a 5 possibilités ...
[img][IMG]http://img862.imageshack.us/img862/7254/azer.png[/img][/IMG]

par **beagle** » 29 Juil 2012, 16:37

vu le blème merci Chan, un beau dessin vaut mieux qu'un long discours,
c'est la symétrie des deux sur mème rangée qui rend cela possible.
bravo à toi,
et comme quoi faut tout vérifier, mon sentiment qu'on ne pouvait pas doublonner sur le quatrième jeton ne reposait que sur une visualisation incomplète, héhé!
(c'était donc faut aussi sur mon premier décompte pour cette mème raison!)

par **chan79** » 29 Juil 2012, 16:52

beagle a écrit:vu le blème merci Chan, un beau dessin vaut mieux qu'un long discours,
c'est la symétrie des deux sur mème rangée qui rend cela possible.
bravo à toi,
et comme quoi faut tout vérifier, mon sentiment qu'on ne pouvait pas doublonner sur le quatrième jeton ne reposait que sur une visualisation incomplète, héhé!
(c'était donc faut aussi sur mon premier décompte pour cette mème raison!)

Je n'avais pas vu le doublon non plus mais j'avais fait tourner algobox pour vérifier. Il l'a donné 45.
J'ai fait des boucles en mettant 0 ou 1 dans chaque case et en sommant l'ensemble (qui doit faire 4)
ainsi que les colonnes et les lignes, chaque somme devant être au moins égale à 1
A+

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