Dénombrement

[sad13]

Bonsoir,
À la fin d'une réunion d'anciens élèves, tout le monde se serre la main. S'il y a n
personnes à la fête, combien de poignées de mains sont échangées ?


le premier peut serrer la main de n-1 personnes(tous sauf lui même) ainsi que le second jusqu'au n-ème ............ donc je dirais ; c'est n^n-1

[Nightmare]

Salut,

j'ai du mal à saisir la provenance de ton résultat.

Le premier sert n-1 mains, le deuxième aussi, mais comme on a déjà comptée sa poignée de main avec le second, au total on a (n-1)+(n-2) poignées de mains pour les deux premiers.

De même, le troisième échange aussi n-1 poignées de mains auxquelles on retire les 2 déjà comptées avec le premier et le deuxième.

etc.

au final on arrive à (n-1)+(n-2)+...+2+1 poignées de main.

[sad13]

Merci pr votre aide ; ben comme l'exo provient de ce PDF http://www.apprendre-en-ligne.net/MADIMU2/PROBA/PROBA1.PDF et il est mis après la définition du principe des tiroirs et de décomposition; j'ai pensé que c'est une application de ces deux principes

[sad13]

En fait, j'ai raisonné aussi comme si l'on avait 5 personnes et 5 bancs; la première a 5 choix, la seconde 4, etc mais le total des cas c'est 5! , n'est ce pas?

[beagle]

En fait, j'ai raisonné aussi comme si l'on avait 5 personnes et 5 bancs; la première a 5 choix, la seconde 4, etc mais le total des cas c'est 5! , n'est ce pas?

oui ,mais cela ne marche pas ici, cen 'est pas équivalent.

Soit tu visualises ce que fait Nightmare, et la somme de 1 à n, ici somme de 1 à (n-1) est un classique à connaitre ou savoir retrouver en 30 secondes, et alors frisouilles.

Soit tu préfères visualiser du n à n comme dans ton 5 personnes 5 sièges,
alors là tu peux faire un tableau carré avec rangées de 1 à n, colonnes de 1 à n,
une case du tableau est une poignée de main
(1,5) est la poignée de main entre personne 1 et personne 5.
on a donc nxn cases,
il faut enlever les cases de la grande diagonale des (1,1), (2,2),(3,3),....,(n,n), car on ne sert pas la main à soi-mème
donc nxn-n cases
et dernier soucis le (1,5) est la mème poignée de main que le (5,1)
donc faut diviser par deux , donc sans aucun calcul: n(n-1)/2
dans ton tableau tu dis par exemple, je ne prends que les (a,b) avec a différent de b (je barre la grande diago),
et avec a inf b
bref je prends toutes les cases situées dans le triangle à droite de la grande diago.
Visualisation maximum, c'est une représentation possible.

[beagle]

En fait, j'ai raisonné aussi comme si l'on avait 5 personnes et 5 bancs; la première a 5 choix, la seconde 4, etc mais le total des cas c'est 5! , n'est ce pas?

dans le factoriel, c'est un arbre, cela se multiplie:
5x4x3x2x1

ici les poignées de main s'additionnent comme te l'a dit Night,
donc 5+4+3+2+1
en sachant que la première personne serre la main à (n-1)
donc si on décompte à partir de 5, c'est que tu as pris 6 personnes.

[sad13]

Merci beaucoup beagle;

*) Très belle représentation : en effet, n(n-1)/2 =1+...+(n-1) car some des termes d'une suite arithmétique

**) Pour votre dernier post; oui, c'est clair, exemple avec 3 personnes( c'set faisable à la main) :

a, b et c

a serre la main à soit b soit c d'où deux couples (a,b), (a,c) ( qui sont pareils que (b,a)(c,a)) et il nous reste (b,c) ce qui nous donne bien 3 poignées de main =1+2(=1+(3-1)) n=3 ds notre cas

merci, c'est en forgeant qu'on devient forgeron, ça commence à rentrer

[kz junior 11!]

Bonsoir,
À la fin d'une réunion d'anciens élèves, tout le monde se serre la main. S'il y a n
personnes à la fête, combien de poignées de mains sont échangées ?


le premier peut serrer la main de n-1 personnes(tous sauf lui même) ainsi que le second jusqu'au n-ème ............ donc je dirais ; c'est n^n-1

nous savons que c'est seulement 2 personnes qui peuvent se serrer la main
soit K l'ensemble d 'anciens élèves K= n
une poignée de main est une famille 2 élément de K non ordonné deux à deux distinct on a donc une combinaison .
C;n;p=n!/p!(n-p)!

[beagle]

nous savons que c'est seulement 2 personnes qui peuvent se serrer la main
soit K l'ensemble d 'anciens élèves K= n
une poignée de main est une famille ordonnée et deux à deux distinct de 2 éléments de K. on a donc un arrangement.
A;n;p= n(n-1)(n-2).................(n-p+1)

k, n, p et 2 ça fait du monde !
k=n déjà bien on voit nombre de personnes,
et p?, p=2????
T'as vérifié sur un exemple simple pour voir?

[sad13]

tu me perturbes à vrai dire; certes An_p =n(n-1).......... mais là tu te trompes; beagle et Nightmare ont répondu avec ce qu'il fallait.

[el niala]

et pour en ajouter une couche, "poignées de main" et "arrangement" ça cloche, car dans les 2 personnes qui se serrent la main, il n'y a pas "d'ordre"

[beagle]

et pour en ajouter une couche, "poignées de main" et "arrangement" ça cloche, car dans les 2 personnes qui se serrent la main, il n'y a pas "d'ordre"

oui, mais on peut s'en sortir en divisant par 2 les arrangements, ou en utilisant les combinaisons ce qui permet de diviser par 2!

donc Arrangements de 2 parmis n = n!/(n-2)!=(n-1)xn à diviser par deux.
ou Combinaisons de 2 parmis n
on retombe bien sur nos pieds il semblerait.

C'est donc OK KZ junior 11! en modifiant légèrement.

[kz junior 11!]

et pour en ajouter une couche, "poignées de main" et "arrangement" ça cloche, car dans les 2 personnes qui se serrent la main, il n'y a pas "d'ordre"

c'est vrais ta raison j'ai rectifier ok

[kz junior 11!]

tu me perturbes à vrai dire; certes An_p =n(n-1).......... mais là tu te trompes; beagle et Nightmare ont répondu avec ce qu'il fallait.

exuse ta reçu ma nouvel redaction na
c'est une combinaison

[kz junior 11!]

En fait, j'ai raisonné aussi comme si l'on avait 5 personnes et 5 bancs; la première a 5 choix, la seconde 4, etc mais le total des cas c'est 5! , n'est ce pas?

ici c'est un arrangement (5-1)(5-2)(5-3)(5-4)(5-5+1)= 4x3x2x1x1
= 24
alors que si je fais 5!=5x4x3x2x1
=120 tu voix non

[sad13]

Désolé mais tu fais plus de mal que de bien , mathématiquement parlant; tu te contredis tout seul et je ne veux voire ne peux te lire; un coup combinaison un coup arrangement; on s'arrange? Changes de Topic, tout est clair grâce à Dieu et c'est bon; beagle et nightmare ont été clairs.

C'est du langage sms et le niveau mathématique ......