Définition d'une suite

[Waax22951]

Bonjour,
Je réfléchissais sur quelque chose et je me suis retrouvé à chercher la définition d'une suite en fonction de n (sans utiliser la notation ) qui n'est, il me semble, absolument pas de mon niveau.. Donc est-ce que quelqu'un pourrait me donner cette formule s'il vous plaît ? :we:

La définition par récurrence de la suite est:


Merci d'avance et bonne soirée :lol3:

[fatal_error]

hello,

si tu dev
t'as du
(n+1)[nu_{n-1} + (n-1)!] + n!
donc déjà, tu vois que le terme en fonction de u_n, quand t'arrives à
u_1, ben t'as (n+1)!u_1
ensuite pour toutes les factorielles...
ya du
n!==(n+1)!/(n+1)
puis (n+1)*(n-1)!=(n+1)!/n
puis (n+1)n*(n-2)!=(n+1)!/(n-1)
puis (n+1)n(n-1)(n-3)!=(n+1)!/(n-2)
...
puis on s'arrete à u2=2u_1+1! ==> (n+1)!/2
idem
somme de i=0 à (n+1-i==2) des (n+1)!/(n+1-i)==(n+1)! somme(i=0 à n-1) 1/(n+1-i)
il faut donc sommer pour i=2 à n+1 les 1/i ==H(n+1)-1
ou H(n) designe la série harmonique=1+1/2+...+1/n
on a finalement
u(n+1)=(n+1)!(1+H(n+1)-1)=(n+1)!H(n+1)

Verification:
u_2=2u_1+1!=3
u_3=3*3+2!=11
par notre formule:
u_2=2!H_2=2!*(3/2) = 3
u_3=3!H(3)=6*(1+1/2+1/3)=6*(6+3+2)/6=11

[Waax22951]

hello,

si tu dev
t'as du
(n+1)[nu_{n-1} + (n-1)!] + n!
donc déjà, tu vois que le terme en fonction de u_n, quand t'arrives à
u_1, ben t'as (n+1)!u_1
ensuite pour toutes les factorielles...
ya du
n!==(n+1)!/(n+1)
puis (n+1)*(n-1)!=(n+1)!/n
puis (n+1)n*(n-2)!=(n+1)!/(n-1)
puis (n+1)n(n-1)(n-3)!=(n+1)!/(n-2)
...
puis on s'arrete à u2=2u_1+1! ==> (n+1)!/2
idem
somme de i=0 à (n+1-i==2) des (n+1)!/(n+1-i)==(n+1)! somme(i=0 à n-1) 1/(n+1-i)
il faut donc sommer pour i=2 à n+1 les 1/i ==H(n+1)-1
ou H(n) designe la série harmonique=1+1/2+...+1/n
on a finalement
u(n+1)=(n+1)!(1+H(n+1)-1)=(n+1)!H(n+1)

Verification:
u_2=2u_1+1!=3
u_3=3*3+2!=11
par notre formule:
u_2=2!H_2=2!*(3/2) = 3
u_3=3!H(3)=6*(1+1/2+1/3)=6*(6+3+2)/6=11

Le principe est justement de l'exprimer sans la série harmonique.. Ce n'est pas possible ? :hein: :triste:

[paquito]

Salut,

j'ai regardé ton problème, mais je ne pense pas qu'il ait la solution que tu désires car on tombes obligatoirement sur une série dont on ne sait pas calculer la somme; quand on calcule les premiers termes pour essayer de trouver une piste, on tombe par exemple sur:

U6=6!+6x5x4x3x1!+6x5x4x2!+6x5x3!+6x4!+5! ; 6 factorielles distinctes et on passera à n factorielles au rang n. On s'en sort en divisant par 6!, mais c'est la série harmonique qui apparaît et finalement on arrive à exprimer Un en fonction de la série harmonique comme l'a fait fatal_error, ce qui prouve qu'on ne peut pas trouver une formule explicite pour Un, car sinon on aurait une formule explicite pour Hn, ce qui n'est pas!

[Waax22951]

Salut,

j'ai regardé ton problème, mais je ne pense pas qu'il ait la solution que tu désires car on tombes obligatoirement sur une série dont on ne sait pas calculer la somme; quand on calcule les premiers termes pour essayer de trouver une piste, on tombe par exemple sur:

U6=6!+6x5x4x3x1!+6x5x4x2!+6x5x3!+6x4!+5! ; 6 factorielles distinctes et on passera à n factorielles au rang n. On s'en sort en divisant par 6!, mais c'est la série harmonique qui apparaît et finalement on arrive à exprimer Un en fonction de la série harmonique comme l'a fait fatal_error, ce qui prouve qu'on ne peut pas trouver une formule explicite pour Un, car sinon on aurait une formule explicite pour Hn, ce qui n'est pas!

Je m'en doutais quand même mais je voulais connaître l'avis d'autres personnes.. :lol3:
Merci à vous deux et bonne continuation ! :lol3: